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第1部分 数学游戏与抽象游戏1

引言1

生活中的谜题7

第1章 数学游戏：从欧拉到卢卡斯11

欧拉与柯尼斯堡的桥11

欧拉与马的游历问题15

卢卡斯与数学游戏20

卢卡斯单人对策游戏的数学计算23

第2章 四则抽象游戏26

从杜德尼趣题到戈洛姆游戏28

九子棋30

六边形棋32

国际象棋36

围棋42

第3章 数学与游戏：神秘的联系48

游戏和数学的分析都可以在大脑中进行49

你能“预见”吗？51

一种新型对象52

它们是抽象的56

它们很难57

规则59

规则限定下的隐藏结构60

论证与证明61

确定性、谬误与真理63

玩家也会犯错65

推理、想象力和直觉66

类比的力量67

简单、优雅和美68

一起探索科学与游戏69

第4章 为何国际象棋不是数学70

竞争70

问东问西73

数学与游戏式数学75

改变解题的观念76

创造新概念与新对象77

递增的抽象性78

寻找共同结构79

数学与科学的互动80

第5章 证明与查证81

数学休闲游戏的局限性82

抽象游戏与答案验证83

如何“证明”11是素数？84

“5是素数”，这是巧合吗？85

证明vs.验证86

结构、模式与表现形式87

任意性与不可控性88

边界附近90

第2部分 数学：游戏化的、科学的和感性的95

引言95

第6章 游戏化的数学98

引言98

技巧和策略100

立方和与其内在关联103

欧拉的巨作106

第7章 欧几里得与其几何游戏规则110

赛瓦定理114

西蒙线116

抛物线及其几何特性117

丹德林球面120

第8章 新概念与新对象122

创造“新对象”124

它是存在的吗？126

不得不这么做127

无穷与无穷级数128

微积分与切线概念131

抛物线的形状是什么？134

第9章 收敛级数与发散级数137

先驱者137

调和级数发散140

奇异的对象和神秘的情景142

发散级数的实际用途145

第10章 数学的游戏化146

欧拉与多面体147

群论的发明——发现150

阿蒂亚－麦克莱恩之争153

数学与几何155

第11章 作为一门科学的数学156

引言156

三角几何：三角形的欧拉线158

现代三角几何学161

七圆定理与其他新的定理165

第12章 数字与数列167

平方和168

简单问题，容易答案170

素数171

素数对173

猜想的局限性174

波利亚猜想及其驳斥176

数学实验的局限性177

证明vs.直觉181

第13章 计算机与数学184

霍夫施塔德的“好问题”186

计算机与数学证明188

计算机与“证明”190

结语：公式复公式192

第14章 数学与科学193

科学家的抽象193

数学先于科学与技术194

数学在科学中的成功应用196

科学家如何应用数学？198

纯数学与应用数学中的方法和技巧200

积分：求曲线下面积202

摆线206

科学激励着数学的发展210

第15章 最短路径：优美的简洁性213

似曾相识的智力题213

赫伦定理的发展217

极值问题219

帕普斯与蜂巢220

第16章 基石：感知、想象和洞察221

阿基米德引理与用“看”来证明223

通过剖分进行证明的中国人224

拿破仑定理226

多角数229

分拆问题233

（再谈）发明还是发现？236

第17章 结构237

毕达哥拉斯定理239

欧几里得坐标几何学244

中点问题247

挠四边形249

第18章 隐藏结构，共同结构252

素数与幸运数252

面纱背后的数学对象254

证明一致性257

结构变换，视角转换259

第19章 数学与美263

哈代论数学和国际象棋265

经验与期望267

国际象棋和数学：美与才华268

美、类比与结构269

感知中的美和个体差异271

“博大派”vs.“精深派”273

美，形式与理解275

第20章 起源：日常生活中的形式277

游戏的心理学意义280

形式性的起和落283

宗教仪式、游戏与数学284

形式性与数学286

隐藏的数学288

风格与文化，以及数学风格290

系统精神vs.问题解决292

视觉vs.语言：几何vs.代数294

女性、游戏与数学296

数学与抽象游戏：内在的紧密联系298