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第一章 导论1

七、射影变换公式 （14

1.1 集合的概念5

1.2 映射与变换的概念6

1.3 变换的乘积8

1.4 变换群9

第二章 仿射变换11

2.1 仿射映射的定义及性质11

2.2 仿射变换的代数表示19

一、坐标变换式19

二、面积变换系数20

三、平面透视仿射变换21

四、空间仿射变换、体积变换系数22

五、空间透视仿射变换23

六、主方向25

一、运动变换27

2.3 仿射变换的特例27

二、斜对称28

三、同位相似28

四、相似变换28

五、正交变换29

六、剪移29

七、压缩（拉伸）变换30

八、双曲旋转30

九、椭圆旋转31

2.4 平行投影与仿射映射32

一、平面图形的平行投影32

二、立体图形的平行投影33

三、仿射图的组合34

2.5 一般仿射变换视为简单仿射变换之积的概念35

2.6 仿射变换的应用举例36

一、在几何证明题及作图题中的应用36

二、在求面积及体积中的应用38

三、在力学中的应用39

四、在机构设计中的应用40

五、在画法几何作图中的应用41

第三章 射影变换48

3.1 射影平面的概念48

一、透视映射与变换48

二、射影平面的第一模型49

三、射影平面的第二模型50

3.2 射影映射51

一、射影映射的定义及性质51

二、射影映射的第一基本定理52

三、射影映射的第二基本定理56

四、射影变换群58

3.3 双重比58

一、射影平面上不共直线的四个点58

二、位于直线上四点的双重比59

三、属于同一束的四条直线的双重比60

四、透视的与射影的点列和线束61

五、在机构设计中的应用 （164

3.4 调和分隔66

一、分隔的概念66

二、调和分隔66

三、完全四边形和完全四角形68

3.5 射影变换实例70

一、两个一维基本形的射影变换70

二、对合对应72

三、透射74

四、双曲型和抛物型透射的特殊情形78

五、射影平面的对合变换79

3.6 射影变换的代数表示81

一、射影平面上的射影坐标81

二、射影坐标系的基点83

三、平面上的齐次笛卡儿坐标83

四、非齐次射影坐标86

五、齐次射影坐标88

六、坐标变换91

七、笛卡儿坐标中的射影变换公式95

八、射影变换中的二重元素96

3.7 空间的射影变换98

一、射影空间的构成98

二、射影空间元素的从属（结合）关系99

三、对偶原理100

四、齐次坐标101

五、射影坐标102

六、射影变换103

3.8 射影平面上的曲线105

一、射影平面上的曲线和欧几里得空间中锥面的联系105

二、第一模型的二阶曲线105

三、二阶曲线的射影分类107

3.9 卵状二阶曲线的射影结构108

一、用两个一次射影线束产生二阶曲线108

二、用两个一次射影点列作二阶曲线的切线族110

三、巴斯加定理111

四、白良松定理112

3.10 成射影对应的二阶曲线113

一、定义113

二、曲线到自身射影变换的作图法114

一、基本概念116

3.11 对射变换116

二、对应元素的作图法120

三、透视的对射变换121

四、对合的对射变换123

五、把对于二阶锥面的配极变换125

六、射影平面的配极变换127

七、二阶曲面的极点和极平面133

3.12 射影变换中图形作法的定理及问题134

一、透视三角形134

二、笛沙格定理135

三、完全四角形的截形136

四、对合点列的圆束作图法137

五、巴普斯定理139

六、给出五个元素作二阶曲线140

七、作二阶曲线的切线或求切点的问题141

3.13 直线和平面的垂直性及反极对应142

一、相互垂直的直线和平面142

二、主配极对应143

三、主反极对应143

四、利用自共轭三角形给定主配极对应144

五、自共轭三角形的蜕变147

六、共轭点的绝对对合和主对含149

七、平面的绝对形和空间的绝对形151

一、在几何问题中的应用155

3.14 射影变换的应用155

二、在二阶曲线作图中的应用158

三、在画法几何作图中的应用159

四、在力学中的应用162

六、在透视作图中的应用166

七、在航空摄影测量中的应用168

第四章 几何变换的矩阵方法171

4.1 二维图形的变换矩阵171

一、基本变换矩阵171

二、各种变换的矩阵175

三、矩阵的分解177

四、绕任意轴的二维旋转181

五、齐次坐标形式181

4.2 三维图形的变换矩阵185

一、恒等变换186

二、等比例变换186

三、不等比例变换187

四、旋转变换187

五、三面投影的矩阵190

六、正轴测投影矩阵191

七、透视变换矩阵196

5.1 平方变换211

第五章 平方变换211

5.2 双值平方变换（一）216

一、变换规律216

二、直线的映象218

三、圆的映象222

5.3 双值平方变换（二）223

5.4 中心平方变换225

一、变换的定义225

二、二阶曲线的变换227

三、空间平方变换227

四、中心平方变换的特殊情形228

5.5 应用举例232

五、二次曲面的中心平方变换232

第六章 复平面的几何结构238

6.1 复数的几何表示法238

一、矢量与复数238

二、复数的加法与减法的几何意义239

三、复数的乘法与除法的几何意义240

四、数1/α的几何表示法242

6.2 复平面上的圆242

一、圆的表示法242

二、圆束244

6.3 复平面上的几何变换246

一、复变函数导数的幅角的几何意义250

第七章 保角变换250

7.1 复平面的保角变换250

二、复变函数导数的模的几何意义252

7.2 球极投影253

一、复数球面253

二、球极投影的公式254

三、球极投影的重要性质256

7.3 一般线性变换的保圆性258

一、整式线性函数258

二、函数w=1/z260

三、分式线性函数261

四、若干简单函数构成的映射264

7.4 保角变换的应用269

第八章 反演变换273

8.1 平面反演变换273

一、基本概念273

二、变换公式及性质274

8.2 空间反演变换276

一、基本概念276

二、变换公式及性质276

8.3 反演变换的作图方法280

一、直线的互逆图形作图法280

二、圆周互逆图形的作图法281

三、相切的两图形的互逆图形仍相切281

一、导出新曲面和新曲线283

8.4 反演变换的应用283

二、在画法几何作图中的应用285

三、在工程技术几何作图中的应用286

四、在机构设计中的应用290

第九章 拓扑变换293

9.1 拓扑变换的基本概念293

9.2 拓扑变换的不变量295

9.3 网络图297

9.4 欧拉示性数·欧拉定理299

一、树形图的欧拉示性数299

二、平面网络图的欧拉示性数299

三、关于多面体的欧拉定理300

9.5 拓扑变换的举例302