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第一章　有限群理论基础1

1.1　群1

1.2　共轭类6

1.3　群的直积与直积群9

1.4　群的同态与同构10

1.4.1 同态10

1.4.2 同构12

1.5　线性空间和线性变换群，线性变换群的矩阵表示12

1.6　内积空间与酉变换17

1.7　群的表示20

1.7.1 群表示的定义20

1.7.2 三维空间中的旋转群的矩阵表示21

1.7.3 变换作用于函数空间以及变换的矩阵表示24

1.8　可约表示与不可约表示25

1.9　有限群表示理论中的基本定理28

1.10　群的特征标35

1.10.1 特征标及其基本性质35

1.10.2　有限群特征标的基本定理36

1.11　群空间与群代数38

1.11.1　群空间与群代数的定义38

1.11.2　群函数与函数空间41

1.11.3 类空间与类函数空间43

1.12　直积表示和直积群的表示47

1.12.1 直积表示47

1.12.2　直积群的表示48

1.13　有限群不可约表示的分类49

第二章　点群52

2.1　三维正交群52

2.2　点群概要55

2.2.1 点群的分类55

2.2.2 点群元素的类型55

2.2.3 点群共轭类的划分57

2.3　第一类点群59

2.3.1 单轴点群59

2.3.2　二面体群59

2.3.3　正四面体群62

2.3.4　正八面体群65

2.3.5　正二十面体群67

2.4　第二类点群68

2.4.1 由第一类点群G和空间反演群I＝｛e,i｝的直积构成的第二类点群68

2.4.2 不包括空间反演i的第二类点群70

2.5　点群完备性的证明75

2.5.1 第二类点群的性质75

2.5.2 SO（3）群的所有可能的有限子群76

2.6　晶体学点群与描述分子对称性的连续群80

2.6.1 由点群推广而得到的连续群80

2.6.2 晶体学点群81

2.7　点群小结82

第三章　点群的不可约表示与Clebsch-Gordan系数86

3.1 函数空间上的算子群与群表示的基函数86

3.2　基础表示与诱导表示89

3.2.1　基础表示90

3.2.2　诱导表示92

3.2.3　诱导表示的有关定理93

3.2.4　诱导表示的举例95

3.3 Cn群和Dn群的不可约表示96

3.3.1 Abel点群？n和D2的不可约表示及其基矢98

3.3.2 Dn群（n≥3）的不可约表示104

3.4 T群和O群的不可约表示112

3.4.1 正四面体群（T群）的不可约表示112

3.4.2 正八面体群（O群）的不可约表示116

3.4.3 利用诱导表示方法由T群得到O群的表示121

3.5　第二类点群的不可约表示124

3.5.1 第二类点群中直积群的不可约表示124

3.5.2 与第一类点群同构的第二类点群的不可约表示126

3.6　线性分子对称群的不可约表示128

3.6.1 直积群D∞h的不可约表示128

3.6.2 C∞v群的不可约表示130

3.7　双值群SO（3）＊，O（3）＊与SO（3）群的双值表示130

3.7.1 SU（2）群与SO（3）群同态130

3.7.2　双值群SO（3）＊133

3.8　双值点群及其双值表示135

3.8.1 双值点群的结构以及共轭元素类135

3.8.2　双值点群？＊ n及其不可约表示135

3.8.3 双值群D＊ n及其不可约表示137

3.8.4　双值点群T＊和O＊及其不可约表示141

3.8.5　第二类双值点群143

3.9　点群的Clebsch-Gordan系数143

3.9.1 点群不可约表示直积的分解与Clebsch-Gordan级数143

3.9.2 点群的Clebsch-Gordan系数144

3.9.3 点群Clebsch-Gordan系数的对称性与V-系数147

3.10　点群的再耦合系数与W-系数149

3.11 O群的V-系数和W-系数152

3.11.1 O群不可约表示直积分解152

3.11.2 O群不可约表示的标准化基矢与不可约表示的标准矩阵152

3.11.3 O群单值表示的V-系数158

3.11.4 O群单值表示的W-系数161

3.12　点群不可约张量算子和Wigner-Eckart定理162

3.12.1 点群不可约张量算子162

3.12.2 点群不可约张量算子的Wigner-Eckart定理164

3.12.3 耦合不可约张量算子的Wigner-Eckart定理166

第四章　点群表示理论在分子结构中的应用169

4.1 Schrodinger方程及其对称群169

4.2　投影算子与对称性匹配基矢174

4.2.1 投影算子174

4.2.2 D4群的投影算子与对称性匹配的基矢177

4.2.3 T群的投影算子与对称性匹配的基矢180

4.3　分子结构中的LCAO-MO与SALC-MO方法183

4.3.1 分子轨道LCAO-MO方法183

4.3.2　对称匹配分子轨道SALC-MO方法184

4.3.3　休克尔近似方法184

4.4　不同对称性分子的分子轨道的对称性分析188

4.4.1 C2v对称性分子的对称匹配轨道188

4.4.2 C3v对称性分子的对称性匹配轨道189

4.4.3 D4h对称性分子的对称匹配轨道191

4.4.4 D5d对称性分子的对称匹配轨道194

4.4.5 Oh对称性的正八面体AB6型分子对称匹配轨道196

4.4.6 Td对称性的正四面体AB4型分子对称匹配轨道198

4.5　原子轨道和杂化轨道199

4.5.1 原子轨道的变换性质199

4.5.2　杂化轨道理论201

4.5.3　群论的处理方法201

4.5.4 常见几何构型杂化轨道202

第五章　空间群208

5.1　空间群与Bravais点阵208

5.1.1 Euclide群208

5.1.2 空间群与Bravais点阵210

5.1.3 空间群元素的类型212

5.2　空间群的七个系列和14种Bravais点阵212

5.2.1 空间群的七个系列（七个晶系）212

5.2.2 平移群Tk Gb点阵的14种类型215

5.3　空间群的确定及其符号223

5.3.1 空间群的确定及其符号223

5.3.2 三斜系和单斜系空间群的确定227

5.4　正交系空间群232

5.4.1 正交系C2v类空间群233

5.4.2 D2类空间群236

5.4.3　D2h类空间群237

5.5　三角系空间群238

5.5.1 C3类空间群和S6=C3i类空间群239

5.5.2 C3v类空间群239

5.5.3 D3类和D3d类空间群240

5.6　四角系和六角系空间群241

5.6.1 四角系空间群241

5.6.2 六角系空间群245

5.7　立方系空间群246

5.7.1 T类空间群246

5.7.2 O,Th,Td和Oh类空间群249

5.8　周期性边界条件与平移群的有限化251

5.9　空间群的推广——Shubnikov群251

5.9.1 Shubnikov点群253

5.9.2 Shubnikov空间群256

5.10 Shubnikov空间群举例261

5.10.1 三斜系Shubnikov空间群261

5.10.2　单斜系Shubnikov空间群261

5.11　空间群小结262

第六章　空间群的表示理论265

6.1　平移群的不可约表示与波矢空间265

6.1.1 平移群的不可约表示与波矢向量265

6.1.2 倒易空间的倒易点阵与Brillouin区267

6.2　共轭表示与空间群的子群——小群270

6.2.1 共轭表示270

6.2.2 空间群的子群——小群272

6.2.3 空间群GP按小群左陪集的分解与波矢星274

6.3　小表示与允许小表示278

6.4　空间群的不可约表示280

6.4.1 由允许小表示诱导出的空间群的诱导表示280

6.4.2　关于诱导表示的两个基本定理283

6.4.3 简单空间群和Brillouin区内部的波矢k的小群GP k的允许小表示285

6.4.4　第一Brillouin区边界上的k所对应的小群GP k的允许小表示286

6.4.5 构造空间群不可约表示的基本方法292

6.5　空间群不可约表示举例293

6.5.1 空间群O3三种波矢的不可约表示293

6.5.2 空间群O5 h的不可约表示301

6.5.3 空间群O2与O3 h的不可约表示302

6.6　空间群表示理论对晶体能带理论的应用304

6.7 Shubnikov群表示理论概要——共表示简介306

6.8　空间群表示理论小结307

第七章　置换群及其表示理论309

7.1　置换群309

7.1.1　置换群309

7.1.2　循环与对换及置换的分解311

7.2　置换群的共轭元素类，分割与Young图314

7.2.1 置换群的共轭类314

7.2.2　分割与Young图316

7.3　置换群的子群与Caylay定理318

7.4 Frobenius公式与置换群的特征标321

7.4.1 由子群特征标推导群的特征标321

7.4.2 一些简单置换群的特征标323

7.4.3 Frobenius公式与置换群的特征标327

7.5　置换群不可约表示特征标与标准Young盘332

7.5.1 标准Young盘与置换群不可约表示的维数332

7.5.2　置换群Sn的不可约表示特征标338

7.5.3 共轭表示及其特征标之间的关系339

7.6　置换群的标准不可约表示340

7.6.1 置换群Sn的不可约表示对子群Sn-1的分解规则340

7.6.2　置换群不可约表示的标准基矢——Yamanouchi符号341

7.7　标准不可约表示的表示矩阵345

7.7.1 由Sn-1群表示矩阵寻求Sn群表示矩阵的Young-Yamanouchi定理346

7.7.2　S2,S3,S4群的标准不可约表示矩阵348

7.8 Young算子与置换群不可约表示的基矢352

7.8.1 Young算子352

7.8.2　标准Young算子与标准表示356

7.9　置换群表示理论对Fermi子体系的应用357

7.9.1 由总自旋函数和总轨道函数构成的全反对称函数358

7.9.2　置换群的外积与自旋函数361

第八章　全同核置换反演群与分子对称群及其在分子光谱中的应用364

8.1　分子Hamiltonian群与全同核置换反演群364

8.1.1　分子Hamiltonian及其对称群364

8.1.2　全同核置换反演群CNPI369

8.2 CNPI群与分子对称群372

8.2.1 CNPI群与分子点群372

8.2.2　等价平衡构型与MS群373

8.2.3 CNPI和MS群的关系376

8.3 CNPI群和MS群对非刚性分子光谱的应用381

8.3.1 CH3BF2分子及其光谱381

8.3.2 CH3—CH3分子及其光谱387

8.3.3 N2H4分子及其光谱389

8.4　准刚性分子振动光谱的群论分析392

8.4.1 准刚性分子的振动光谱的简正振动分析392

8.4.2　群论方法解析简正振动的理论基础392

8.4.3　分子简正振动分析举例394

8.4.4 配合物振动光谱的简正振动解析396

8.4.5 红外简正振动在确定配合物构型中的应用396

8.4.6 碳原子簇的简正振动模式解析397

第九章　Lie群与Lie代数基础399

9.1 Lie群与Lie代数399

9.1.1 Lie群的定义399

9.1.2 Lie群的连通性和紧致性400

9.1.3 典型Lie群及其连通性与紧致性401

9.2 Lie群局部性质的Lie理论，Lie群与Lie代数405

9.2.1 Lie群的无穷小生成元与无穷小变换和无穷小算子405

9.2.2 局部Lie群的Lie理论412

9.2.3 Lie代数416

9.3 Lie代数的基本概念418

9.4　复半单Lie代数的Cartan形式424

9.4.1 Cartan-Weyl基，Cartan子代数与半单Lie代数的Cartan形式424

9.4.2 Cartan-Killing度规张量与半单Lie代数的判别定理426

9.5　半单Lie代数根的性质与根系430

9.5.1 半单Lie代数根的性质430

9.5.2 半单Lie代数的根系∑与σ系433

9.6　单Lie代数与根图435

9.6.1 秩r≤2的单Lie代数436

9.6.2　秩r＞2的单Lie代数440

9.7　素根，Dynkin图，单Lie代数的分类443

9.7.1　素根与Cartan-Weyl标准基443

9.7.2 Dynkin图与单Lie代数的素根系449

9.7.3 单Lie代数素根系П的Dynkin图分析450

9.8　复数域C上的一般线性Lie代数gl（n,C）及其子代数458

9.8.1 特殊线性Lie代数sl（n+1,C）459

9.8.2 正交Lie代数o（m,C）和特殊正交Lie代数so（m,C）461

9.8.3 辛Lie代数Sp（2n,C）462

9.8.4　gl（n,C）的子代数u（n）和su（n）464

9.8.5 Lie代数gl（n,C）及其子代数小结465

9.9　典型Lie代数的紧致实形467

9.9.1 实Lie代数的复扩充与复Lie代数的实形467

9.9.2 紧致实Lie代数469

9.9.3　典型Lie代数的紧致实形469

9.9.4　典型Lie代数与紧致典型Lie群470

9.10　典型Lie代数的Fermi子实现472

9.10.1 Fermi子的产生和消灭算子及其反交换关系472

9.10.2 Fermi子体系的最大Lie代数u（22λ）472

9.10.3　u（22λ）的子代数o（4λ＋1）和o（4λ）474

9.10.4 SO（4λ）群的子群SUQ（2）？Sp（2λ）及其群链475

9.10.5 SO（4λ）群的子群U（2λ）及其群链480

第十章　Lie群与Lie代数的表示理论481

10.1 Lie群与Lie代数的表示481

10.1.1　表示的一般概念481

10.1.2　群上不变积分与紧致Lie群不可约表示的广义正交定理482

10.2　半单Lie代数的表示与权484

10.2.1　半单Lie代数的表示与权484

10.2.2　权与根的关系486

10.2.3　半单Lie代数不可约表示的标记488

10.3　典型Lie代数不可约表示的标记及其维数490

10.3.1 单Lie代数的Chevalley基490

10.3.2　典型Lie代数不可约表示的标记490

10.3.3　典型Lie代数不可约表示的维数494

10.3.4 由最高权计算权系的方法497

10.3.5 Lie代数An的反对称表示与对称表示502

10.4　典型Lie代数的直积表示503

10.4.1 直积表示503

10.4.2　直积表示的权系与直积表示的分解504

10.5 Casimir算子及其本征值506

10.5.1 Casimir算子506

10.5.2　二阶Casimir算子的本征值508

10.5.3 二阶Casimir算子本征值的计算509

10.5.4 Lie代数A2（su（3））的Casimir算子及其本征值513

第十一章　Lie代数su(2),so（3）和Lie群SU(2),SO（3）的不可约表示515

11.1 Lie代数A1的实形515

11.1.1 Lie代数A1的实形515

11.1.2　非紧致Lie代数su（1,1）和so（2,1）517

11.2 Lie群SU（2）和SO（3）519

11.2.1 Lie群SU（2）及其定义域与连通性519

11.2.2 SO（3）群及其定义域与连通性520

11.2.3 SU（2）群与SO（3）群的关系521

11.3 Lie代数su（2）和Lie群SU（2）的不可约表示522

11.3.1 Lie代数su（2）的不可约表示522

11.3.2 SU（2）群的有限维不可约表示528

11.3.3 SO（3）群的有限维酉表示531

11.3.4 SU（2）和SO（3）群的表示矩阵D（j）（α，β，γ）的性质与特征标536

11.3.5 SU（2）和SO（3）群的上积分和不可约表示的广义正交定理539

11.3.6 SU（2）群有限维不可约表示的完备性541

11.3.7 O（3）群的不可约表示541

11.4 SU（2）群的Clebsch-Gordan系数、耦合基矢和Racah系数542

11.4.1 SU（2）群直积表示的不可约表示分解与Clebsch-Gordan系数543

11.4.2 角动量的耦合与耦合基矢547

11.4.3 Clebsch-Gordan系数的对称性与3-j符号550

11.4.4 Racah系数与6-j符号、9-j符号552

11.5 SO（3）群的不可约张量算子和Wigner-Eckart定理558

11.5.1 SO（3）群的不可约张量算子558

11.5.2　Wigner-Eckart定理563

11.5.3 不可约张量算子矩阵元的选择定则568

11.6 SO（3）群与其分立子群（点群）的关系569

11.6.1　SO（3）群不可约表示（l）向子群G的不可约表示（Γ）的分解569

11.6.2　SO（3）点群的群间耦合系数571

第十二章　典型紧致Lie代数的不可约表示573

12.1 U（n）群和SU（n）群的不可约表示与不可约张量方法573

12.1.1 U（n）群变换下的张量和张量空间573

12.1.2 张量空间的约化与不可约张量575

12.1.3 U（n）群不可约表示的完备性、Young图与不可约表示的维数581

12.1.4 SU（n）群的不可约表示583

12.1.5 U（n）群和SO（n）群的特征标与不可约表示直积的分解584

12.1.6 U（n）群不可约表示的标准化不可约张量基587

12.2 U（n）和SU（n）群的不可约表示Lie代数方法592

12.2.1 U（n）群和SU（n）群的不可约表示592

12.2.2 U（n）群的特征标598

12.2.3 U（n）群不可约表示的正则基——Gelfand基601

12.3 O（n）群的不可约表示与不可约张量方法603

12.3.1 O（n）群的不可约张量表示604

12.3.2 U（n）群不可约表示对SO（n）群的分解609

12.4 SO（n）群的不可约表示Lie代数法612

12.4.1 SO（n）群不可约表示的最高权612

12.4.2 SO（n）群不可约表张量表示的最高权614

12.4.3 SO（n）群的特征标616

12.5　Sp（2m）群的不可约表示618

12.5.1 Sp（2m）群的不可约表示与不可约张量方法618

12.5.2 Sp（2m）群的不可约表示与Lie代数法624

第十三章　Lorentz群626

13.1　Lorentz群及其Lie代数so（3,1）626

13.1.1 Lorentz群的定义626

13.1.2 Lorentz群的Lie代数627

13.1.3 Lorentz群的紧致性和连通性629

13.2 Lorentz群的参数化630

13.3 Poicare群与Lorentz变换632

13.3.1 Poicare群632

13.3.2 Lorentz变换及其物理意义634

13.4　SL（2）群与L↑ ＋群同态637

13.4.1 Lie代数sl（2）与so（3,1）同构637

13.4.2　SL（2）群与L↑ ＋群的同态关系638

结束语——物质世界的对称性642

一、四维时间-空间的对称性及相关物理规律642

（一）四维时空中时间的对称性642

（二）空间对称性643

（三）相对论的时空对称性643

二、全同粒子置换对称性及其物理规律643

三、动力学对称性与动力学群644

四、基本粒子的内禀空间与内禀空间的对称群647

（一）电子自旋与自旋空间的SU（2）群647

（二）同位旋与同位旋空间的SU（2）群648

（三）规范群648