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第1章 多项式1

1.1 数环和数域2

1.1.1 研究问题3

1.1.2 基本概念3

1.1.3 主要结论4

1.1.4 例子剖析4

1.1.5 练习与探究5

1.2 一元多项式的定义和运算6

1.2.1 研究问题6

1.2.2 基本概念7

1.2.3 主要结论8

1.2.4 例子剖析10

1.2.5 练习与探究11

1.3 整除性理论11

1.3.1 研究问题12

1.3.2 基本概念12

1.3.3 主要结论12

1.3.4 例子剖析14

1.3.5 练习与探究15

1.4 多项式的最大公因式16

1.4.1 研究问题16

1.4.2 基本概念16

1.4.3 主要结论17

1.4.4 例子剖析20

1.4.5 练习与探究22

1.5 多项式的因式分解23

1.5.1 研究问题23

1.5.2 基本概念24

1.5.3 主要结论24

1.5.4 例子剖析26

1.5.5 练习与探究27

1.6 重因式及其判定28

1.6.1 研究问题28

1.6.2 基本概念28

1.6.3 主要结论29

1.6.4 例子剖析30

1.6.5 练习与探究32

1.7 多项式函数与多项式的根33

1.7.1 研究问题33

1.7.2 基本概念33

1.7.3 主要结论34

1.7.4 例子剖析36

1.7.5 练习与探究37

1.8 复数域和实数域上的多项式38

1.8.1 研究问题38

1.8.2 基本概念39

1.8.3 主要结论39

1.8.4 例子剖析42

1.8.5 练习与探究44

1.9 有理数域上的多项式44

1.9.1 研究问题44

1.9.2 基本概念45

1.9.3 主要结论45

1.9.4 例子剖析48

1.9.5 练习与探究49

1.10 多元多项式51

1.10.1 研究问题51

1.10.2 基本概念51

1.10.3 主要结论53

1.10.4 例子剖析57

1.10.5 练习与探究58

1.11 对称多项式58

1.11.1 研究问题58

1.11.2 基本概念58

1.11.3 主要结论60

1.11.4 例子剖析62

1.11.5 练习与探究65

第2章 行列式66

2.1 线性方程组的公式解67

2.1.1 研究问题67

2.1.2 基本概念67

2.1.3 主要结论68

2.1.4 例子剖析70

2.1.5 练习和探究71

2.2 排列与奇偶性71

2.2.1 研究问题71

2.2.2 基本概念71

2.2.3 主要结论72

2.2.4 例子剖析74

2.2.5 练习与探究75

2.3 n阶行列式的定义75

2.3.1 研究问题76

2.3.2 基本概念76

2.3.3 主要结论77

2.3.4 例子剖析78

2.3.5 练习和探究81

2.4 行列式的基本性质82

2.4.1 研究问题82

2.4.2 基本概念83

2.4.3 主要结果83

2.4.4 例子剖析88

2.4.5 练习与探究89

2.5 行列式按行（列）展开91

2.5.1 研究问题91

2.5.2 基本概念92

2.5.3 主要结论92

2.5.4 例子剖析96

2.5.5 练习与探究99

2.6 行列式的计算100

2.6.1 研究问题100

2.6.2 主要结论101

2.6.3 练习与探究110

2.7 Cramer法则111

2.7.1 研究问题112

2.7.2 基本概念112

2.7.3 主要结论113

2.7.4 例子剖析115

2.7.5 练习和探究116

2.8 Laplace展开和行列式相乘117

2.8.1 研究问题117

2.8.2 基本概念117

2.8.3 主要结论118

2.8.4 例子剖析122

2.8.5 练习和探究124

第3章 线性方程组125

3.1 线性方程组的矩阵解法128

3.1.1 研究问题128

3.1.2 基本概念128

3.1.3 主要结论131

3.1.4 例子剖析136

3.1.5 练习与探究137

3.2 n维向量空间138

3.2.1 研究问题138

3.2.2 基本概念138

3.2.3 主要结论139

3.2.4 例子剖析140

3.2.5 练习与探究141

3.3 线性相关性141

3.3.1 研究问题141

3.3.2 基本概念141

3.3.3 主要结论142

3.3.4 例子剖析145

3.3.5 练习与探究147

3.4 矩阵的秩148

3.4.1 研究问题149

3.4.2 基本概念149

3.4.3 主要结论149

3.4.4 例子剖析155

3.4.5 练习和探究157

3.5 线性方程组有解判别定理157

3.5.1 研究问题157

3.5.2 基本概念158

3.5.3 主要结论158

3.5.4 例子剖析160

3.5.5 练习和探究162

3.6 线性方程组的解结构162

3.6.1 研究问题162

3.6.2 基本概念163

3.6.3 主要结论164

3.6.4 例子剖析170

3.6.5 练习与探究174

3.7 二元高次方程组178

3.7.1 研究问题178

3.7.2 基本概念179

3.7.3 主要结果179

3.7.4 例子剖析183

3.7.5 练习与探究184

第4章 矩阵185

4.1 矩阵的概念186

4.1.1 研究问题186

4.1.2 基本概念186

4.1.3 主要结论188

4.1.4 例子剖析190

4.1.5 练习与探究191

4.2 矩阵的运算191

4.2.1 研究问题192

4.2.2 基本概念192

4.2.3 主要结论195

4.2.4 例子剖析196

4.2.5 练习与探究198

4.3 矩阵乘积的行列式与秩199

4.3.1 研究问题199

4.3.2 基本概念200

4.3.3 主要结论200

4.3.4 例子剖析202

4.3.5 练习和探究203

4.4 可逆矩阵及其求法204

4.4.1 研究问题204

4.4.2 基本概念204

4.4.3 主要结论205

4.4.4 例子剖析208

4.4.5 练习与探究210

4.5 初等矩阵212

4.5.1 研究问题212

4.5.2 基本概念212

4.5.3 主要结论213

4.5.4 例子剖析216

4.5.5 练习与探究219

4.6 矩阵的分块220

4.6.1 研究问题220

4.6.2 基本概念220

4.6.3 主要结论222

4.6.4 例子剖析224

4.6.5 练习与探究228

4.7 分块矩阵的初等变换及应用229

4.7.1 研究问题229

4.7.2 基本概念229

4.7.3 主要结论231

4.7.4 例子剖析231

4.7.5 练习与探究235

第5章 二次型236

5.1 二次型及矩阵表示237

5.1.1 研究问题237

5.1.2 基本概念237

5.1.3 主要结论240

5.1.4 例子剖析241

5.1.5 练习与探究242

5.2 化二次型为标准形242

5.2.1 研究问题243

5.2.2 基本概念243

5.2.3 主要结论243

5.2.4 例子剖析247

5.2.5 练习与探究251

5.3 C与R上的二次型251

5.3.1 研究问题251

5.3.2 基本概念252

5.3.3 主要结论252

5.3.4 例子剖析256

5.3.5 练习与探究258

5.4 正定二次型259

5.4.1 研究问题259

5.4.2 基本概念259

5.4.3 主要结论260

5.4.4 例子剖析264

5.4.5 练习与探究266

第6章 线性空间268

6.1 集合与映射270

6.1.1 研究问题270

6.1.2 基本概念270

6.1.3 主要结论274

6.1.4 例子剖析275

6.1.5 练习与探究275

6.2 线性空间的定义与性质276

6.2.1 研究问题276

6.2.2 基本概念276

6.2.3 主要结论277

6.2.4 例子剖析279

6.2.5 练习与探究279

6.3 基、维数与坐标280

6.3.1 研究问题280

6.3.2 基本概念281

6.3.3 主要结论282

6.3.4 例子剖析284

6.3.5 练习与探究286

6.4 基变换与坐标变换287

6.4.1 研究问题287

6.4.2 基本概念287

6.4.3 主要结论288

6.4.4 例子剖析289

6.4.5 练习与探究291

6.5 线性子空间291

6.5.1 研究问题292

6.5.2 基本概念292

6.5.3 主要结论292

6.5.4 例子剖析295

6.5.5 练习与探究295

6.6 子空间的交与和296

6.6.1 研究问题296

6.6.2 基本概念296

6.6.3 主要结论297

6.6.4 例子剖析300

6.6.5 练习与探究301

6.7 子空间的直和301

6.7.1 研究问题302

6.7.2 基本概念302

6.7.3 主要结论302

6.7.4 例子剖析305

6.7.5 练习与探究306

6.8 线性空间的同构306

6.8.1 研究问题307

6.8.2 基本概念307

6.8.3 主要结论308

6.8.4 例子剖析310

6.8.5 练习与探究311

第7章 线性变换312

7.1 线性变换的定义和性质313

7.1.1 研究问题314

7.1.2 基本概念314

7.1.3 主要结论314

7.1.4 例子剖析315

7.1.5 练习与探究317

7.2 线性变换的运算317

7.2.1 研究问题318

7.2.2 基本概念318

7.2.3 主要结论318

7.2.4 例子剖析321

7.2.5 练习与探究322

7.3 线性变换和矩阵323

7.3.1 研究问题323

7.3.2 基本概念323

7.3.3 主要结论324

7.3.4 例子剖析330

7.3.5 练习与探究332

7.4 特征值与特征向量334

7.4.1 研究问题334

7.4.2 基本概念334

7.4.3 主要结论336

7.4.4 例子剖析341

7.4.5 练习与探究342

7.5 线性变换的对角化343

7.5.1 研究问题343

7.5.2 基本概念344

7.5.3 主要结论344

7.5.4 例子剖析348

7.5.5 练习与探究350

7.6 线性变换的值域与核351

7.6.1 研究问题352

7.6.2 基本概念352

7.6.3 主要结论352

7.6.4 例子剖析355

7.6.5 练习与探究356

7.7 不变子空间357

7.7.1 研究问题357

7.7.2 基本概念357

7.7.3 主要结论358

7.7.4 例子剖析363

7.7.5 练习与探究364

7.8 Jordan标准形简介364

7.8.1 研究问题365

7.8.2 基本概念365

7.8.3 主要结论366

7.8.4 例子剖析367

7.8.5 练习与探究368

7.9 最小多项式368

7.9.1 研究问题368

7.9.2 基本概念368

7.9.3 主要结论369

7.9.4 例子剖析372

7.9.5 练习与探究372

第8章 欧几里得空间374

8.1 欧氏空间的定义和性质376

8.1.1 研究问题376

8.1.2 基本概念376

8.1.3 主要结论378

8.1.4 例子剖析381

8.1.5 练习与探究383

8.2 标准正交基383

8.2.1 研究问题384

8.2.2 基本概念384

8.2.3 主要结论384

8.2.4 例子剖析389

8.2.5 练习与探究390

8.3 欧氏空间的同构391

8.3.1 研究问题391

8.3.2 基本概念391

8.3.3 主要结论392

8.3.4 例子剖析393

8.4 正交变换与正交矩阵394

8.4.1 研究问题395

8.4.2 基本概念395

8.4.3 主要结论395

8.4.4 例子剖析397

8.4.5 练习与探究399

8.5 正交子空间400

8.5.1 研究问题400

8.5.2 基本概念400

8.5.3 主要结论401

8.5.4 例子剖析402

8.5.5 练习与探究403

8.6 对称变换与实对称矩阵的对角化403

8.6.1 研究问题403

8.6.2 基本概念403

8.6.3 主要结论403

8.6.4 例子剖析408

8.6.5 练习与探究410

8.7 向量到子空间的距离412

8.7.1 研究问题412

8.7.2 基本概念413

8.7.3 主要结果413

8.7.4 例子剖析417

8.7.5 练习与探究419

8.8 酉空间简介419

8.8.1 研究问题419

8.8.2 基本概念419

8.8.3 主要结论420

8.8.4 例子剖析424

8.8.5 练习与探究426

第9章 双线性函数427

9.1 线性函数427

9.1.1 研究问题428

9.1.2 基本概念428

9.1.3 主要结论428

9.1.4 例子剖析429

9.1.5 练习与探究431

9.2 对偶空间431

9.2.1 研究问题432

9.2.2 基本概念432

9.2.3 主要结论432

9.2.4 例子剖析437

9.2.5 练习与探究438

9.3 双线性函数439

9.3.1 研究问题439

9.3.2 基本概念439

9.3.3 主要结论440

9.3.4 例子剖析442

9.3.5 练习与探究444

9.4 对称双线性函数445

9.4.1 研究问题445

9.4.2 基本概念445

9.4.3 主要结论445

9.4.4 例子剖析449

9.4.5 练习与探究449

练习题答案451

参考文献510