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第一章 寻究的眼光1

1.1 九九乘法表1

1.1.1 从九九乘法表可以发现的事实1

1.1.2 从九九乘法表的个位数的排列所得的结论2

1.1.3 九九乘法表中一数与周围数字的关系2

1.2 一元二次方程的求根公式6

1.2.1 公式①所体现的数学美6

1.2.2 对方程的求解产生的新认识7

1.2.3 一元二次方程的其他求根公式12

1.3 三角形的内角和定理12

1.3.1 凸n边形的外角和12

1.3.2 平面多边形中的欧拉公式13

1.3.3 立体几何中的欧拉公式14

1.3.4 正多面体只有五种15

1.4 勾三股四弦五〈3,4,5〉16

1.4.1 〈3,4,5〉的图形表示16

1.4.2 由〈3,4,5〉到勾股弦数组〈a,b,c〉的求法17

1.4.3 勾股弦数组的有趣性质25

1.4.4 由〈3,4,5〉联想到广义勾股弦数组27

1.4.5 由〈3,4,5〉联想到高维勾股弦数组34

思考题35

思考题参考解答36

第二章 洞察的眼光46

2.1 从不同的角度看同一个数学对象46

2.1.1 把一个图形看成两个重合的图形46

2.1.2 从旋（或翻）转的角度看同一个图46

2.1.3 对同一个算式中的项进行恰当的排列重组48

2.2 方格图中的代数等式（公式）49

2.2.1 划分方格图获得自然数方幂和或乘积和的有关求和公式49

2.2.2 划分方格图填数获得自然数方幂和的有关求和公式53

2.3 图形分割中的计数公式57

2.3.1 点分割线段及射线分割角（小于平角的角）57

2.3.2 直线分割平面或圆面58

2.4 三角形三边所在直线上的三点问题58

2.4.1 三角形三边所在直线上的三点组成的三角形58

2.4.2 三角形三边所在直线上的点与顶点连线围成的三角形61

2.4.3 梅涅劳斯定理与塞瓦定理的统一推广62

2.5 二元一次方程组的求解63

2.5.1 求解过程及结论的字母符号表示63

2.5.2 求解公式的推广65

2.6 从一道等差数列问题的求解谈起66

2.6.1 问题及其求解66

2.6.2 一些联想68

2.7 直线方程xox+yoy=r2的几何意义71

思考题77

思考题参考解答78

第三章 搜索的眼光82

3.1 勾股定理的证明82

3.1.1 图形出入相补82

3.1.2 图形面积推算91

3.1.3 相似图形推演95

3.1.4 其他图形或性质推导101

3.2 两正数的算术与几何平均值不等式105

3.2.1 寻证明，多思路105

3.2.2 谈运用，有角度111

3.2.3 析变式，广应用113

3.2.4 深推广，宽联想118

3.3 蝶形探微125

3.3.1 蝶形的性质及应用125

3.3.2 蝴蝶定理种种128

3.4 点到直线距离公式的推导140

思考题149

思考题参考解答150

第四章 敏锐的眼光162

4.1 从哥德巴赫猜想谈起162

4.2 神奇的数表163

4.2.1 奇妙的数字宝塔163

4.2.2 奇妙的数型166

4.3 排队数167

4.4 回文数171

4.5 可拆素数，顺次可拆素数172

4.6 奇妙的多边形数173

4.6.1 三角形数的奇妙性质174

4.6.2 多边形数的和175

4.7 平方数176

4.7.1 平方数的计算176

4.7.2 平方数的特性177

4.7.3 平方数变换179

4.7.4 连写数平方数180

4.7.5 连续平方数数组181

4.7.6 重写数平方数182

4.7.7 一个数表为平方数之和183

4.8 平方舞伴数184

4.9 自生数185

4.10 亲和数186

4.11 完全数189

4.12 梅森数190

4.13 费马数192

4.14 等幂和数193

4.14.1 神奇的和193

4.14.2 规律在探索中展现193

4.14.3 认识在规律中升华195

4.14.4 揭开神奇的和的面纱196

4.14.5 欲穷千里目，更上一层楼196

4.15 轮环整除数198

4.16 黑洞数199

4.17 水仙花数（Randle数）或回归数（方幂和数）201

思考题204

思考题参考解答205

第五章 思悟的眼光213

5.1 在变化中看到不变213

5.2 在不同中看到相同214

5.3 在近似中看到精确216

5.4 在模糊中看到清晰217

5.5 在量变中看到质变218

5.6 在抽象中看到具体220

5.6.1 数学式子的实际背景显意义220

5.6.2 数学概念的现实模具助理解220

5.6.3 数学结论求解的具体表示助沟通221

5.7 从偶然中发现必然223

5.7.1 素数7,11,13的美妙特性223

5.7.2 反常约分223

5.7.3 行列式的一条有趣性质226

5.7.4 解题中一般方法的发现227

5.8 从平凡中发现奇异230

5.8.1 三角形中的一个点230

5.8.2 恒等式A=2kA/2k=aA/a232

5.9 从紊乱中归纳条理233

5.10 从无序中找到规律234

5.11 从混沌中发现秩序236

5.12 从对象的随机性中感悟到其内部的确定性238

思考题241

思考题参考解答241

第六章 和谐的眼光245

6.1 三角形内心与旁心的统一245

6.1.1 三角形内心定理、旁心定理的统一证明245

6.1.2 三角形内心与旁心有关结论的转换246

6.2 五条定理用圆串，勾股定理把线牵249

6.3 三角形、圆与三角理论252

6.4 杨辉三角——数学联系的充分体现253

6.4.1 杨辉三角数字排列的一些性质253

6.4.2 杨辉三角与九宫图256

6.4.3 杨辉三角与纵横路线图256

6.4.4 杨辉三角与谢尔宾斯基衬垫257

6.4.5 杨辉三角与概率258

6.4.6 杨辉三角与黄金均值258

6.5 勾股弦数邂逅斐波那契数259

6.5.1 四个连续的斐波那契数与勾股弦数259

6.5.2 五个连续的斐波那契数与勾股弦数261

6.5.3 若干个连续的斐波那契数与勾股弦数261

6.6 数学概念的普遍联系262

6.6.1 以从属关系为桥梁的联系262

6.6.2 以合成关系为纽带的联系264

6.6.3 以对应关系为媒介的联系265

6.6.4 以对偶形式为基础的联系267

6.7 自然现象与数学的联系269

6.7.1 节律现象与数学269

6.7.2 磨光现象与数学271

6.7.3 全息现象与数学272

思考题275

思考题参考解答276

第七章 神韵的眼光280

7.1 数学问题的智慧处理280

7.1.1 在数学解题中280

7.1.2 在数学研究中282

7.2 语言与文学问题的数学处理283

7.2.1 律诗中的平仄与格律283

7.2.2 诗词中的修辞手法285

7.2.3 寓言的寓意286

7.2.4 英语数词中的字母赋值287

7.3 艺术问题的数学处理288

7.3.1 数学与音乐288

7.3.2 数学与形体290

7.4 人生问题的数学处理292

7.4.1 人生坐标系与名言292

7.4.2 人生最美好的年华292

7.4.3 人生“算术”294

思考题296

思考题参考解答296

第八章 奇异的眼光301

8.1 自然现象中的惊奇301

8.1.1 植物中的数学撷趣301

8.1.2 自然界中的数学模式302

8.2 数学中的奇异美306

8.2.1 三角式中的奇异美306

8.2.2 算术中的奇异美306

8.2.3 几何中的奇异美307

8.2.4 代数中的奇异美308

8.3 奇妙的黄金概念308

8.3.1 黄金比309

8.3.2 黄金图形种种309

8.3.3 特殊图形中的黄金分割点312

思考题312

思考题参考解答313

第九章 辩证的眼光319

9.1 已知与未知319

9.1.1 以字母代未知数——从算术到代数319

9.1.2 由已知，找可知，逐步靠拢未知——综合法321

9.1.3 由未知，找须知，逐步靠拢已知——分析法322

9.2 常量与变量322

9.2.1 常量与变量的相依性323

9.2.2 常量与变量的相对性323

9.2.3 通过常量来描述刻画变量324

9.2.4 通过变量研究常量326

9.3 等与不等326

9.3.1 在数学解题中327

9.3.2 在数学思维中330

9.4 直与曲331

9.4.1 曲线具有渐近线部分的特征332

9.4.2 非线性问题线性化332

9.4.3 直线与曲线在微分学中最终等同起来332

9.5 有限与无限333

9.5.1 有限与无限的质的差异334

9.5.2 数学中有限与无限的联系与转化335

9.6 连续与不连续338

9.6.1 连续与离散338

9.6.2 连续与间断339

思考题339

思考题参考解答340

第十章 战略的眼光343

10.1 宏观的思考方式343

10.1.1 整体审视343

10.1.2 积零为整345

10.1.3 整体变换346

10.2 灵活的实施技巧348

10.2.1 实现战术任务348

10.2.2 化整为零349

10.2.3 局部调整350

10.2.4 关注变形技巧351

思考题352

思考题参考解答352

参考文献355

作者出版的相关书籍与发表的相关文章目录358

编后语361