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第1章 泛函分析初步1

集与集的函数表示1

集的定义1

公理系统规定的集与可数集1

集的函数表示2

线性空间与度量空间2

线性空间3

度量空间4

希尔伯特空间4

有穷维矢量空间的内积5

范数与线性赋范空间5

内积空间与希尔伯特空间6

投影定理7

泛函与变分9

泛函的定义9

泛函的变分10

具有等式约束的泛函极值13

算子的概念17

δ函数19

δ函数的引入19

广义函数及δ函数的性质与傅里叶变换20

δ函数为有界泛函与弱收敛序列的弱极限22

第2章 格林函数法24

格林函数与脉冲响应24

求解线性常系数差分方程的格林函数法25

求解线性常系数随机差分方程的格林函数法28

AR（1）模型的格林函数28

ARMA （p，q）模型的格林函数29

求解线性时变系数差分方程的格林函数法33

求解二阶偏微分方程的格林函数法40

第3章 特征求解法45

矩阵与矢量空间的特征值和特征矢量45

矩阵的特征值和特征矢量45

矢量空间的特征值和特征矢量46

微分方程的特征值与特征函数48

斯图谟-刘维尔型微分方程48

厄密算子的二阶微分方程50

积分方程的特征值与特征函数52

第二类Fr积分方程52

希尔伯特-施密特的理论53

特征求解法在长球面波函数研究中的应用54

长球面波函数的微分方程55

长球面波函数的积分方程56

特征求解法在连续卡-洛展开研究中的应用60

第4章 托布利兹矩阵及其特征求解法67

定义与性质67

托布利兹矩阵的定义与不同形式67

常用信号的托布利兹矩阵68

托布利兹矩阵的性质69

特征值、特征矢量与特征多项式72

特征值与特征矢量72

特征多项式75

例与讨论75

托布利兹矩阵的循环分解79

对称的托布利兹矩阵的循环分解79

循环矩阵与反循环矩阵的性质80

托布利兹矩阵在卡-洛变换研究中的应用87

离散卡-洛展开与卡-洛变换87

广义平稳马尔可夫信号的卡-洛变换88

附录4.1格施戈林定理97

第5章 插值法99

插值问题99

多项式插值100

拉格朗日插值多项式与插值多项式的唯一性100

拉格朗日插值公式与信号处理中内插滤波器法插值表示式的关系102

牛顿插值公式103

应用多项式插值法研究经典取样定理104

信号的经典取样定理104

应用拉格朗日插值多项式研究经典取样定理105

样条插值与B（或δ）样条函数108

多项式插值的局限性108

样条插值108

采用样条函数的最小二乘曲线拟合113

最小二乘曲线拟合原理114

采用样条函数的最小二乘曲线拟合114

指数多项式插值118

普罗尼法118

微分方程反问题方法119

有理函数插值120

有理函数插值的有解条件121

有理函数插值的蒂厄勒法121

第6章 不适定问题与正则化法123

不适定问题的概念123

适定与不适定问题的数学意义124

不适定问题与度量空间的关系127

不适定问题的原因128

算子方程中的算子空间与逆算子129

不适定问题求解的数值方法132

函数逼近的正则化法与正则化网络140

函数逼近的正则化法之一140

内插问题的径向基函数（RBF）法142

函数逼近的正则化法之二143

正则化网络145

附录6.1公式？/？f（x）‖pf（x）‖2=2p*pf（x）的证明146

第7章 矩与最大熵法148

随机变量的特征函数与矩149

随机变量的特征函数149

矩定理152

正态随机变量的特征函数与矩153

最大熵法156

最大熵概率密度156

最大熵谱157

求解矩问题与求解一类积分方程的最大熵法160

两个随机变量的矩与特征函数163

两个随机变量的联合矩163

两个随机变量的联合特征函数164

两个随机变量的矩定理164

正态随机变量的联合特征函数与联合矩164

普赖斯定理的应用例一：正态随机信号的量化研究166

二维最大熵法171

附录7.1二维正态概率密度函数展成级数公式的证明172

第8章 AR模型法与分段AR模型法176

x2分布与随机变量的收敛概念176

x2分布176

正态随机变量二次型的分布178

随机变量的各种收敛概念180

AR模型的参数估计法与渐近性能181

尤利-沃克方程法181

莱文森-德宾法182

最小二乘法182

AR模型的预报（或预测）184

AR模型参数估计的渐近性质186

AR模型的定阶准则187

分段AR模型法194

分段平稳随机信号的优化方法194

分段平稳优化方程的求解法195

一种改进的分段平稳优化方程求解法198

附录8.1式（8-127）与式（8-128）的证明200

第9章 稳健（鲁棒）性法204

稳健性统计估计概念205

传统位置参数估计方法及其不稳健性205

早期所用的位置参数稳健性估计法206

稳健性统计估计的特点208

现今流行的稳健性统计估计理论方法209

统计量209

有效稳健性210

定性稳健性210

极小极大稳健性211

污染正态样本中异常值的稳健识别法220

AR模型的稳健性估计223

带异常值的AR模型223

AR模型参数的稳健性估计224

功率谱估计的稳健性方法227

KMT法228

滤波-净化法229

平滑-净化法232

第10章 谱分析与谱估计法的发展史235

牛顿与邦森的实验谱分析235

傅里叶的正弦谱理论236

泰勒级数236

波动方程的伯努利解237

傅里叶级数238

斯图谟-刘维尔型微分方程的谱理论240

薛定锷的原子谱理论243

量子力学谱理论243

诺伊曼谱表示理论245

维纳的广义谐波谱理论249

布朗运动的爱因斯坦-维纳理论249

维纳的广义谐波分析法251

两种谱理论数学上的联系与统一253

舒斯特、尤利与维纳的时间序列分析方法254

舒斯特的周期图法254

尤利的AR模型法255

维纳的时间序列的预测理论256

经典谱估计法与库利-图基的快速傅里叶变换258

BT功率谱估计法258

库利-图基的快速傅里叶变换259

改善的周期图法259

伯格的最大熵谱分析法260

现代谱估计法263

模型参数法264

非参数法265

熵谱估计法267

高阶矩与多谱估计法268

非平稳随机信号的谱分析与谱估计法269

参考文献272