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0预备知识1

0.1绪论1

0.1.1代数学发展概要1

0.1.2学习高等代数的目的和意义2

0.1.3怎样学好高等代数2

0.2数学归纳法3

0.2.1引例3

0.2.2说明3

0.2.3数学归纳法的本质3

0.2.4数学归纳法的加强形式——第二数学归纳法5

0.2.5应用——关于引例（4）的解法5

0.2.6归纳法怪论6

0.3整数的可除性6

0.3.1整除7

0.3.2最大公约数与转辗相除法8

0.3.3算术基本定理10

0.4数环和数域11

0.4.1数环11

0.4.2数域12

1一元多项式14

1.1一元多项式的定义及运算14

1.1.1概念注释与要点分析14

1.1.2例题14

1.2整除的概念15

1.2.1概念注释与要点分析15

1.2.2例题16

1.3最大公因式17

1.3.1概念注释与要点分析17

1.3.2例题18

1.4因式分解定理20

1.4.1概念注释与要点分析20

1.4.2例题20

1.5重因式22

1.5.1概念注释与要点分析22

1.5.2例题22

1.6多项式函数23

1.6.1概念注释与要点分析23

1.6.2例题23

1.7复系数与实系数多项式的因式分解25

1.7.1概念注释与要点分析25

1.7.2例题25

1.8有理系数多项式26

1.8.1概念注释与要点分析26

1.8.2例题27

1.9本章小结28

1.9.1贯穿在多项式理论中的数学精神28

1.9.2学习本章应着重理解和领会的数学思想29

1.9.3本章应着重掌握的数学证明方法30

1.9.4一元多项式理论的结构框图30

2行列式31

2.1引言31

2.1.1线性方程组的一般形式与要解决的理论问题31

2.1.2一种重要的思考方法、研究方法和证明方法32

2.1.3对线性方程组（2-1）的分析32

2.1.4寻求两个未知数、两个方程的线性方程组的公式解33

2.1.5三个未知量、三个方程的方程组的求解公式34

2.1.6一般化问题与着眼点34

2.2排列35

2.2.1概念注释与要点分析35

2.2.2例题36

2.3n阶行列式37

2.3.1概念注释与要点分析37

2.3.2例题39

2.4行列式的性质40

2.4.1概念注释与要点分析40

2.4.2例题43

2.5行列式按一行（列）展开45

2.5.1概念注释与要点分析45

2.6n阶行列式的计算方法49

2.6.1概念注释与要点分析49

2.6.2例题52

2.7Gramer法则58

2.7.1概念注释与要点分析58

2.7.2例题58

2.8本章小结59

2.8.1学习本章应着重领会的数学精神59

2.8.2学习本章应着重领会的数学思想和方法60

2.8.3本章的发展脉络60

3线性方程组61

3.1概述61

3.1.1本章中心问题61

3.1.2几个有关的基本概念62

3.1.3几个简单例子62

3.2消元法62

3.2.1概念注释与要点分析63

3.2.2例题64

3.3n维向量空间64

3.3.1概念注释与要点分析65

3.4线性相关性66

3.4.1概念注释与要点分析66

3.4.2例题69

3.5矩阵的秩73

3.5.1概念注释与要点分析73

3.5.2例题76

3.6线性方程组有解判别定理77

3.6.1概念注释与要点分析77

3.6.2例题78

3.7线性方程组解的结构83

3.7.1概念注释与要点分析83

3.7.2例题84

3.8本章小节88

3.8.1学习本章应着重领会的数学精神88

3.8.2学习本章应着重领会建立本章理论的基本思想89

3.8.3学习本章应进一步体会“数学研究与证明的一般原则”89

3.8.4本章的基本结构与发展脉络89

4矩阵91

4.1矩阵的概念及其运算91

4.1.1概念注释与要点分析91

4.1.2例题94

4.2矩阵乘积的行列式与秩98

4.2.1概念注释与要点分析98

4.2.2例题99

4.3矩阵的逆100

4.3.1概念注释与要点分析101

4.3.2例题102

4.4矩阵的分块103

4.4.1概念注释与要点分析103

4.4.2例题105

4.5初等矩阵106

4.5.1概念注释与要点分析106

4.5.2例题109

4.6分块矩阵的应用110

4.6.1主要内容及要点分析110

5二次型117

5.1二次型的矩阵表示117

5.1.1概念注释与要点分析117

5.1.2例题119

5.2标准形121

5.2.1概念注释与要点分析121

5.3唯一性与二次型的分类123

5.3.1概念注释与要点分析123

5.3.2例题126

5.4正定二次型127

5.4.1概念注释与要点分析127

5.4.2例题134

5.5本章小结138

5.5.1基本概念与全章中心问题138

5.5.2本章基本结构139

5.5.3学习本章应着重领会的数学精神、思想和方法139

6线性空间141

6.1线性空间的定义与基本性质141

6.1.1概念注释与要点分析141

6.1.2例题144

6.2维数、基与坐标145

6.2.1概念注释与要点分析145

6.2.2例题147

6.3基变换与坐标变换150

6.3.1概念注释与要点分析150

6.3.2例题152

6.4线性子空间155

6.4.1概念注释与要点分析155

6.4.2例题156

6.5子空间的交与和159

6.5.1概念注释与要点分析159

6.5.2例题161

6.6子空间的直和162

6.6.1概念注释与要点分析163

6.6.2例题165

6.7线性空间的同构166

6.7.1概念注释与要点分析166

6.7.2例题168

6.8本章小结169

6.8.1本章所体现的基本的数学精神、思想和方法169

6.8.2本章的基本结构与发展脉络170

7线性变换171

7.1线性变换及其运算171

7.1.1概念注释与要点分析171

7.1.2例题175

7.2线性变换与矩阵177

7.2.1概念注释与要点分析178

7.2.2例题181

7.3特征值、特征向量与“对角化”184

7.3.1概念注释与要点分析185

7.3.2例题192

7.4不变子空间与“准对角化”195

7.4.1概念注释与要点分析195

7.4.2例题199

7.5本章小结201

7.5.1应着重领会的数学精神201

7.5.2应着重领会的数学思想201

7.5.3应着重掌握或领会的数学方法202

7.5.4本章基本结构与发展脉络203

8欧几里得空间204

8.1欧几里得空间的定义与基本性质204

8.1.1概念注释与要点分析204

8.1.2例题209

8.2欧几里得空间的正交性210

8.2.1概念注释与要点分析210

8.2.2例题216

8.3正交变换218

8.3.1概念注释与要点分析218

8.3.2例题221

8.4对称变换与实对称矩阵的标准形222

8.4.1概念注释与要点分析222

8.4.2例题226

8.5本章小结229

8.5.1应着重领会的数学精神229

8.5.2应着重领会的数学思想和方法230

8.5.3本章基本结构及发展脉络230

9代数基本概念导引231

9.1代数运算与代数系统231

9.1.1代数运算231

9.1.2代数系统235

9.2附加于代数系统的一些条件236

9.2.1运算规律236

9.2.2特殊元素238

9.3代数系统的比较——同构与同态239

9.4三种基本代数系统——群、环、域242

9.4.1群242

9.4.2环245

9.4.3域246

参考文献249