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第一章 函数——自然规律性质的数学描述1

第一节 描述自然规律方法的一次重要革命1

1．1问题的提出1

1．2问题的数学抽象2

1．3从具体的形到抽象的数的革命性突破3

习题1．18

第二节 二元函数的几何图形Ⅰ10

2．1空间直角坐标系 向量的概念及其线性运算10

2．2向量的数量积与向量积15

习题1．217

第三节 二元函数的几何图形Ⅱ19

3．1曲面及其方程19

3．2几种空间曲面、曲线及其方程20

习题1．328

第四节 数学模型初步29

4．1数学模型方法简述29

4．2数学模型建立举例32

习题1．433

第二章 极限与连续——事物的变化趋势与连绵不断35

第一节 变化趋势的猜想与讨论35

1．1一个问题的提出及解决方案35

1．2问题讨论结论的推广37

1．3无穷小量与无穷大量39

1．4两个重要极限41

1．5极限的运算法则42

1．6多元函数的极限43

1．7极限的应用举例44

习题2．151

第二节 连续与间断讨论51

2．1连续与间断51

2．2连续函数的性质54

习题2．256

第三章 导数及其应用——函数变化率的深入探讨57

第一节 变化率问题的数学描述57

1．1问题的提出57

1．2问题分析及结论58

1．3可导与连续的关系63

1．4高阶导数64

习题3．165

第二节 求导法65

2．1一元函数的导函数65

2．2一元函数的和、差、积、商求导法则66

2．3一元复合函数求导法67

2．4一元隐函数求导法68

2．5偏导数 多元复合函数链式求导法70

2．6多元隐函数求导法73

习题3．274

第三节 微分与全微分75

3．1一元函数的微分75

3．2一元函数微分的运算76

3．3全微分78

3．4微分的几何应用78

习题3．383

第四节 导数的应用Ⅰ83

4．1中值定理83

4．2利用罗尔定理研究方程的根85

4．3利用拉格朗日中值定理证明等式85

4．4洛必达法则86

习题3．488

第五节 导数的应用Ⅱ88

5．1一元函数的单调性与极值88

5．2函数的凹凸性与拐点93

5．3函数图形的描绘95

习题3．595

第六节 导数的应用Ⅲ96

6．1二元函数的极值及最大值、最小值96

6．2条件极值、拉格朗日乘数法97

习题3．699

第七节 导数应用综合举例102

第四章 积分及其应用——求变化数量和的技术106

第一节 一个求总量问题探讨106

1．1问题的提出、处理及相关结论106

1．2定积分的性质109

习题4．1111

第二节 积分计算111

2．1微积分学基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）111

2．2不定积分112

2．3积分上限函数及其导数120

习题4．2121

第三节 反常积分122

3．1无穷区间上的反常积分122

3．2无界函数的反常积分125

习题4．3126

第四节 定积分的应用Ⅰ127

4．1定积分的元素法127

4．2平面曲线的弧长128

4．3平面图形的面积129

4．4旋转体的体积132

4．5平行截面面积为已知的立体的体积133

习题4．4134

第五节 定积分的应用Ⅱ135

5．1变力沿直线所作的功135

5．2水压力136

5．3引力137

习题4．5137

第六节 二重积分137

6．1二重积分的概念138

6．2二重积分的性质140

习题4．6140

第七节 二重积分的计算法141

7．1利用直角坐标计算二重积分141

7．2利用极坐标计算二重积分143

习题4．7144

第五章 常微分方程——描写自然规律的一类重要形式145

第一节 一类问题数学模型的建立145

1．1问题的提出145

1．2问题分析——微分方程数学模型的建立146

1．3处理分析及结论146

习题5．1147

第二节 几类微分方程数学模型的求解方法Ⅰ147

2．1变量分离方程与齐次方程147

2．2一阶线性微分方程150

习题5．2151

第三节 几类微分方程数学模型的求解方法Ⅱ152

3．1可降阶的微分方程152

3．2二阶常系数线性微分方程153

习题5．3156

第四节 微分方程模型举例157

习题5．4158

第六章 无穷级数——无穷多个离散数量的和问题探讨161

第一节 数项级数161

1．1问题的提出161

1．2问题分析及结论161

1．3无穷级数的基本性质164

1．4正项级数敛散性的判别法164

1．5任意项级数敛散性的判别法167

习题6．1169

第二节 幂级数170

2．1问题的提出170

2．2幂级数及其收敛性170

2．3幂级数的运算172

2．4函数展开成幂级数174

习题6．2177

第三节 傅里叶（Fourier）级数178

3．1三角级数、三角函数系的正交性178

3．2周期为2π的函数展开成傅里叶级数179

3．3周期为2l的函数的傅里叶级数182

习题6．3183

第七章 线性代数初步——一次方程衍生的数学问题与方法184

第一节 矩阵184

1．1矩阵的概念184

1．2矩阵的运算185

习题7．1193

第二节 线性方程组194

2．1线性方程组的概念194

2．2高斯消元法196

习题7．2200

第三节 矩阵的特征值与特征向量202

3．1特征值与特征向量202

3．2特征值与特征向量的求法202

习题7．3206

第四节 线性代数应用举例207

第八章 概率统计初步——可能性的数学描述与数据分析技术218

第一节 随机事件及概率218

1．1问题提出218

1．2相关数学问题的处理218

习题8．1231

第二节 随机变量、分布与数字特征231

2．1随机变量231

2．2离散型随机变量的概率分布232

2．3连续型随机变量的概率分布235

2．4分布函数与随机变量函数的分布240

2．5随机变量的数字特征243

习题8．2247

第三节 数理统计基本概念248

3．1总体和样本248

3．2样本的分布函数、直方图249

3．3统计量及其分布251

习题8．3252

第四节 参数估计253

4．1参数的点估计253

4．2参数的区间估计255

习题8．4255

第九章 数学实验——将信息技术应用到数学256

实验1 Mathematica基本功能256

实验2一元函数的图形260

习题9．2265

实验3空间图形266

习题9．3269

实验4极限270

习题9．4273

实验5连续与间断274

实验6导数概念276

实验7求导数277

习题9．7281

实验8导数的应用281

习题9．8289

实验9积分的概念289

实验10积分的计算291

习题9．10294

实验11积分的应用294

习题9．11296

实验12一阶微分方程296

习题9．12298

实验13二阶微分方程298

习题9．13299

实验14微分方程建模300

实验15数项级数302

习题9．15306

实验16幂级数306

习题9．16308

实验17行列式与矩阵308

习题9．17313

实验18解线性方程组314

习题9．18315

实验19矩阵的特征值与特征向量316

习题9．19317

实验20随机事件的概率317

习题9．20319

实验21随机变量分布与数字特征320

实验22假设检验与回归分析323

习题9．22328

参考答案329

附表337

参考文献339