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第一章 微积分1

1.1 微分法则1

1.1.1 导数的含义1

1.1.2 导数的基本公式与运算法则2

1.1.3 微分公式4

1.1.4 高阶导数和高阶微分5

1.1.5 多元函数和偏导数6

1.1.6 隐函数求导8

1.1.7 微分中值定理8

1.1.8 罗彼塔（L′Hospital）法则9

1.2 积分与广义积分10

1.2.1 不定积分的含义及法则10

1.2.2 换元积分法、分部积分法11

1.2.3 定积分12

1.2.4 广义积分（或称反常积分）1

1.2.5 含参变量积分及其求导16

1.2.6 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）18

1.2.7 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）21

1.3 级数与泰勒展开式23

1.3.1 级数的概念23

1.3.2 幂级数与泰勒级数24

1.3.3 函数展开成幂级数26

1.3.4 三角级数与傅立叶级数27

第二章 线性代数30

2.1 矩阵、向量30

2.1.1 矩阵与向量30

2.1.2 矩阵的运算法则33

2.1.3 向量的运算35

2.1.4 线性方程组的矩阵表示38

2.2 逆矩阵39

2.2.1 行列式与矩阵的奇异性39

2.2.2 逆矩阵43

2.2.3 分块矩阵的逆矩阵45

2.2.4 线性方程组的两种解法46

2.3 二次型与特殊行列式47

2.3.1 二次型及其正负定47

2.3.2 主子式与顺序主子式48

2.3.3 稚可比行列式与海赛行列式50

2.3.4 几种加边海赛行列式54

2.4 矩阵及二次型的导数61

2.4.1 基本概念61

2.4.2 对矩阵和向量的求导65

2.4.3 矩阵的迹函数求导67

2.5 特征值与矩阵的对角化68

2.5.1 方阵的特征值与特征向量68

2.5.2 实对称矩阵的特征值与特征向量71

2.5.3 矩阵的对角化73

第三章 测度论74

3.1 σ域与测度74

3.1.1 封闭运算与σ域74

3.1.2 测度与测度空间76

3.1.3 勒贝格测度79

3.2 可测函数81

3.2.1 可测映射与可测函数81

3.2.2 可测函数的判断与运算82

3.2.3 简单函数与可测函数84

3.2.4 可测函数的收敛性85

3.3 可测函数的积分87

3.3.1 非负简单函数的积分87

3.3.2 非负可测函数的积分88

3.3.3 一般可测函数的积分89

3.3.4 可测函数积分的性质91

3.4 符号测度94

3.4.1 符号测度与不定积分94

3.4.2 符号测度的分解定理95

3.5 乘积空间98

3.5.1 乘积σ域与乘积可测空间98

3.5.2 乘积测度99

3.5.3 关于乘积测度的积分：富比尼定理101

附录：上确界sup与下确界inf102

第四章 概率论：基础与应用103

4.1 概率测度与概率空间104

4.1.1 基本事件空间与概率公理104

4.1.2 事件域与概率测度105

4.2 随机变量及其分布108

4.2.1 随机变量108

4.2.2 勒贝格-斯蒂尔切斯测度109

4.2.3 一般随机变量的分布函数112

4.2.4 随机变量概率分布的斯蒂尔切斯积分表示11

4.2.5 随机变量的分布函数：离散型与连续型121

4.3 随机向量及其分布函数125

4.3.1 一般随机向量的分布函数125

4.3.2 离散型随机向量及其分布127

4.3.3 连续型随机向量及其分布128

4.3.4 随机向量的边缘分布130

4.3.5 随机变量的独立性与独立同分布的随机向量132

4.3.6 随机向量函数的分布133

4.4 随机变量的数字特征136

4.4.1 数学期望的测度积分表示137

4.4.2 积分转换定理138

4.4.3 随机变量与随机变量函数的数学期望140

4.4.4 随机变量的方差与协方差144

4.5 随机向量的数字特征147

4.5.1 随机向量的均值矩阵147

4.5.2 随机向量的方差矩阵149

4.5.3 随机向量的协方差矩阵150

4.5.4 随机变量的矩与特征函数简介151

4.6 条件概率与条件期望153

4.6.1 条件概率153

4.6.2 随机变量的条件分布函数155

4.6.3 随机变量的条件期望及其性质19

4.6.4 条件期望矩阵与条件方差矩阵164

4.6.5 随机变量条件期望的一般定义167

4.6.6 条件期望与最优估计172

4.6.7 正态分布的随机向量（多元正态分布）175

第五章 随机过程与时间序列分析180

5.1 随机过程概述180

5.1.1 随机过程的基本概念180

5.1.2 随机过程的概率特征181

5.1.3 随机过程的正交性、不相关性、相互独立性185

5.1.4 随机过程的基本类型186

5.2 泊松过程与布朗运动188

5.2.1 泊松过程188

5.2.2 泊松过程的数字特征189

5.2.3 布朗运动或维纳过程191

5.3 马尔可夫过程194

5.3.1 马尔可夫链与转移概率194

5.3.2 马尔可夫链的状态分类197

5.3.3 马尔可夫过程198

5.4 鞅理论202

5.4.1 鞅及其含义202

5.4.2 停时与停时定理204

5.5 随机微积分206

5.5.1 随机积分206

5.5.2 伊藤（It?）积分209

5.5.3 伊藤（It?）微分与伊藤公式215

5.5.4 伊藤随机微分方程218

5.5.5 随机微分方程解的存在性220

5.6 时间序列分析简介221

5.6.1 时间序列分析221

5.6.2 白噪声222

5.6.3 平稳时间序列的线性模型223

5.6.4 单位根过程与随机游走过程225

5.6.5 平稳过程的自协方差生成函数和谱密度函数226

5.6.6 联合平稳过程的互协方差生成函数和互谱密度函数232

第六章 复变函数与积分变换236

6.1 复数与复变函数236

6.1.1 复数及其表示方法236

6.1.2 复平面239

6.1.3 复变函数241

6.1.4 解析函数242

6.2 复变函数的积分、级数与留数243

6.2.1 复变函数的积分243

6.2.2 级数246

6.2.3 洛朗级数249

6.2.4 留数与留数基本定理251

6.2.5 保角映射254

6.3 积分变换256

6.3.1 傅立叶变换256

6.3.2 序列傅立叶变换260

6.3.3 Z变换261

参考文献264