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第1篇 数理逻辑1

第1章 命题逻辑1

1-1命题与联结词1

1-1-1命题1

1-1-2联结词2

1-2命题公式及其赋值5

1-2-1命题公式5

1-2-2命题公式的真值表6

1-2-3语句的形式化8

1-3重言式9

1-3-1重言式10

1-3-2等价式10

1-3-3蕴含式13

1-4对偶与范式16

1-4-1对偶16

1-4-2范式17

1-4-3联结词完备集23

1-5推理理论26

1-6小结29

习题30

第2章 谓词逻辑32

2-1谓词逻辑基本概念32

2-1-1个体和谓词32

2-1-2量词34

2-1-3谓词公式及语句的符号化35

2-2谓词逻辑永真式38

2-2-1公式的解释38

2-2-2谓词演算永真式39

2-3谓词公式的前束范式42

2-4谓词演算推理理论43

2-5消解原理48

2-5-1化为子句集48

2-5-2消解推理规则49

2-5-3含有变量的消解式51

2-5-4消解反演求解过程52

2-3小结56

习题57

第2篇 集合论59

第3章 集合59

3-1集合的概念与表示59

3-1-1集合及其元素59

3-1-2集合的表示60

3-1-3集合之间的关系61

3-2集合的基本运算63

3-2-1集合的交、并、补及对称差63

3-2-2证明集合相等的方法67

3-3集合的笛卡儿积运算68

3-4有限集合中元素的计数71

3-4-1鸽笼原理71

3-4-2容斥原理71

3-5集合的覆盖与划分73

3-6小结74

习题75

第4章 关系77

4-1n元组与关系77

4-1-1关系的基本概念77

4-1-2二元关系的表示78

4-2二元关系的性质与类型80

4-2-1自反性与反自反性80

4-2-2对称性与反对称性81

4-2-3传递性81

4-2-4关系性质的等价描述82

4-2-5关系性质的证明83

4-3关系的运算84

4-3-1关系的基本运算84

4-3-2关系的复合运算84

4-3-3关系的逆运算86

4-3-4利用关系矩阵求解复合关系87

4-4关系的闭包运算89

4-4-1特性闭包89

4-4-2特性闭包的求解90

4-5等价关系94

4-5-1等价关系与等价类95

4-5-2等价关系与划分96

4-6相容关系97

4-6-1相容关系与最大相容类98

4-6-2相容关系与完全覆盖99

4-7偏序关系100

4-7-1偏序关系与盖住关系100

4-7-2偏序集上的特殊元素101

4-7-3全序关系与良序关系102

4-8小结103

习题104

第5章 函数106

5-1函数的定义106

5-2函数的性质108

5-3函数的逆运算与复合运算109

5-3-1函数的逆运算与逆函数109

5-3-2函数的复合运算与复合函数110

5-3-3特殊函数111

5-4特征函数与一致性函数112

5-5有限集和无限集114

5-5-1有限集、可数集与不可数集115

5-5-2无限集的特性118

5-6基数119

5-6-1有限集、可数无限集和连续统的基数119

5-6-2基数比较120

5-7小结122

习题123

第3篇 代数系统124

第6章 代数系统124

6-1代数系统的基本概念124

6-1-1代数运算124

6-1-2代数运算的基本性质125

6-1-3代数系统的定义126

6-2代数系统的同态与同构131

6-2-1同态与同构131

6-2-2同态与同构的基本性质132

6-3小结133

习题134

第7章 群、环、域136

7-1半群与独异点136

7-1-1半群与独异点的概念136

7-1-2半群的基本性质136

7-1-3子半群与半群的同态137

7-2群与子群139

7-2-1群的基本概念139

7-2-2群的基本性质140

7-2-3子群142

7-3陪集与拉格朗日定理144

7-3-1陪集定义及基本性质144

7-3-2拉格朗日定理及其应用146

7-4正规子群与商群147

7-4-1正规子群的定义及实例147

7-4-2商群148

7-5群的同态与同构149

7-5-1基本概念149

7-5-2同态映射的性质150

7-5-3同态基本定理151

7-6特殊群152

7-6-1交换群153

7-6-2循环群153

7-7环和域155

7-7-1环155

7-7-2域156

7-8小结158

习题158

第8章 格与布尔代数160

8-1格160

8-1-1格的定义160

8-1-2格的对偶原理与格的基本性质163

8-1-3格的同态与同构163

8-2特殊格165

8-2-1分配格165

8-2-2模格167

8-2-3有界格167

8-2-4有补格168

8-3布尔代数与布尔表达式169

8-3-1布尔代数169

8-3-2布尔表达式171

8-4小结173

习题174

第4篇 图论175

第9章 图175

9-1图的基本概念175

9-1-1图的定义175

9-1-2结点的度数178

9-1-3子图与补图179

9-1-4图的同构180

9-1-5图的操作181

9-2通路、回路与连通性182

9-2-1通路与回路182

9-2-2无向图的连通性184

9-2-3有向图的连通性186

9-3图的矩阵表示189

9-3-1邻接矩阵189

9-3-2可达性矩阵194

9-3-3完全关联矩阵197

9-4小结199

习题200

第10章 特殊图202

10-1二部图202

10-1-1二部图的基本概念202

10-1-2匹配203

10-2欧拉图与汉密尔顿图205

10-2-1欧拉图205

10-2-2汉密尔顿图207

10-3平面图211

10-4对偶图与图的着色215

10-4-1对偶图216

10-4-2图的着色216

10-5树与生成树220

10-5-1无向树220

10-5-2生成树222

10-5-3最小生成树223

10-6根树及其应用225

10-6-1有向树与根树225

10-6-2有序树、最优树与二叉树227

10-6-3前缀码问题230

10-7小结232

习题233

附录A 初等数论234

附录B 计数原理242

参考文献252