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第1部分　建模、计算机与误差分析问题1

PT1.1 动机2

PT1.1.1　非计算机方法2

PT1.1.2　数值方法与工程实践3

PT1.2　数学背景4

PT1.3　导读6

PT1.3.1　范围与预览6

PT1.3.2 目标7

第1章　数学建模与工程问题求解9

1.1　一个简单的数学模型10

1.2　守恒律与工程16

习题19

第2章　程序设计与软件25

2.1　软件包与程序设计25

2.2　结构化程序设计26

2.3　模块化程序设计35

2.4 Excel36

2.5　MATLAB40

2.6　其他的语言和软件库44

习题45

第3章　逼近与舍入误差53

3.1　有效数字54

3.2　准确度与精确度55

3.3　误差的定义56

3.4　舍入误差59

3.4.1　数的计算机表示60

3.4.2　计算机中的算术运算67

习题72

第4章　截断误差与泰勒级数75

4.1 泰勒级数75

4.1.1　泰勒级数展开的余项81

4.1.2　用泰勒级数估计截断误差83

4.1.3　数值微分87

4.2　误差传播92

4.2.1　单变量函数92

4.2.2　多变量函数93

4.2.3　稳定性与稳定条件95

4.3 总的数值误差96

4.4　粗差、形式化误差和数据的不确定性98

4.4.1　粗差98

4.4.2　形式化误差98

4.4.3　数据的不确定性99

习题99

第1部分　结束语103

PT1.4　权衡103

PT1.5　重要的关系式与公式105

PT1.6　高级方法与其他参考文献106

第2部分　方程求根109

PT2.1　动机110

PT2.1.1　求根的非计算机方法110

PT2.1.2　方程求根和工程实践110

PT2.2　数学背景112

PT2.3 导读113

PT2.3.1　范围与预览113

PT2.3.2 目标114

第5章　划界法117

5.1 图解法117

5.2　二分法121

5.2.1　终止条件和误差估计123

5.2.2　二分算法127

5.2.3　最小化函数的计算量127

5.3　试位法128

5.3.1　试位法的缺陷132

5.3.2　改进的试位法133

5.4　增量搜索和确定初始猜测134

习题135

第6章　开方法139

6.1　简单定点迭代法140

6.1.1 收敛性141

6.1.2　定点迭代算法144

6.2　牛顿-瑞普逊法145

6.2.1　终止条件和误差估计146

6.2.2　牛顿-瑞普逊法的缺点148

6.2.3　牛顿-瑞普逊算法150

6.3　正割法151

6.3.1　正割法和试位法的差异152

6.3.2　正割法算法153

6.3.3 改进的正割法154

6.4　重根155

6.5　非线性方程组158

6.5.1　定点迭代法159

6.5.2　牛顿-瑞普逊法161

习题163

第7章　多项式求根167

7.1　工程和科学中的多项式167

7.2　多项式计算170

7.2.1　多项式计算和微分170

7.2.2　多项式紧缩170

7.3　传统方法173

7.4　米勒法173

7.5　贝尔斯托法177

7.6　其他方法182

7.7　使用程序库和软件包求根182

7.7.1　Excel182

7.7.2 MATLAB185

7.7.3　IMSL188

习题190

第8章　方程求根案例分析193

8.1 理想和非理想气体定律（化学／生物工程）193

8.2 明水渠水流（土木工程／环境工程）196

8.3 电子电路的设计（电气工程）199

8.4　振动分析（机械／航空工程）202

习题208

第2部分　结束语225

PT2.4　权衡225

PT2.5　重要的关系式与公式226

PT2.6　高级求根方法与其他参考文献227

第3部分　线性代数方程组229

PT3.1 动机230

PT3.1.1　求解方程组的非计算机方法230

PT3.1.2　线性代数方程组和工程实践230

PT3.2　数学背景232

PT3.2.1　矩阵概念232

PT3.2.2　矩阵操作规则234

PT3.2.3　用矩阵形式表示线性代数方程组239

PT3.3　导读240

PT3.3.1 范围与预览240

PT3.3.2 目标241

第9章　高斯消去法243

9.1　求解小规模方程组243

9.1.1 图解法243

9.1.2　行列式和克莱姆法则245

9.1.3　未知数消去法248

9.2　原始高斯消去法249

9.3 消去法的缺陷256

9.3.1　除以0的问题256

9.3.2　舍入误差256

9.3.3　病态方程组257

9.3.4　奇异方程组261

9.4　解求精技术261

9.4.1　使用更多的有效位262

9.4.2　交换主元法262

9.4.3　缩放264

9.4.4　高斯消去算法267

9.5　复数方程组269

9.6　非线性方程组269

9.7　高斯-约当法271

9.8　小结273

习题273

第10章　LU分解法和矩阵求逆279

10.1 LU分解279

10.1.1　LU分解概述279

10.1.2　高斯消去法的LU分解281

10.1.3　LU分解算法286

10.1.4　Crout分解287

10.2　矩阵求逆289

10.2.1　计算逆矩阵289

10.2.2　激励-反应计算291

10.3　误差分析和方程组条件292

10.3.1 向量和矩阵的范数293

10.3.2　矩阵条件数296

10.3.3　迭代求精297

习题298

第11章　特殊矩阵和高斯-赛得尔方法303

11.1　特殊矩阵303

11.1.1　三对角方程组304

11.1.2　Cholesky分解306

11.2　高斯-赛得尔方法308

11.2.1　高斯-赛得尔方法的收敛准则310

11.2.2　使用松弛方法提高收敛性312

11.2.3　高斯-赛得尔算法313

11.2.4　高斯-赛得尔方法的问题背景314

11.3　使用程序库和软件包求解线性代数方程组314

11.3.1　Excel314

11.3.2　MATLAB315

11.3.3　IMSL317

习题321

第12章　线性代数方程组案例分析325

12.1 反应系统的稳态分析（化学／生物工程）325

12.2　分析静止固定的支架（土木／环境工程）328

12.3 电阻电路中的电流和电压（电气工程）331

12.4　弹簧-质量块系统（机械／航空航天工程）333

习题336

第3部分　结束语351

PT3.4　权衡351

PT3.5　重要的关系式与公式352

PT3.6　高级方法与其他参考文献353

第4部分　最优化355

PT4.1　动机356

PT4.1.1　非计算机方法及其历史356

PT4.1.2　最优化和工程实践357

PT4.2　数学背景361

PT4.3　导读362

PT4.3.1　范围与预览362

PT4.3.2　目标363

第13章　一维无约束最优化365

13.1　黄金分割搜索法366

13.2　二次插值法372

13.3　牛顿法374

习题375

第14章　多维无约束最优化379

14.1　直接法380

14.1.1　随机搜索法380

14.1.2　单变量和模式检索382

14.2　梯度法384

14.2.1　梯度和赫赛矩阵384

14.2.2　最速上升法389

14.2.3　改进的梯度法393

习题395

第15章　约束优化399

15.1　线性规划399

15.1.1　标准形399

15.1.2　图解法401

15.1.3　单纯形法404

15.2　非线性约束优化409

15.3　使用软件包优化求解410

15.3.1　用Excel求解线性规划问题410

15.3.2　用Excel求解非线性优化问题412

15.3.3　用MATLAB求解优化问题415

15.3.4　用IMSL求解优化问题417

习题420

第16章　最优化案例分析425

16.1　一个桶的最小成本设计（化学／生物工程）425

16.2　废水处理的最小成本（土木／环境工程）429

16.3 电路的最大功率传输（电气工程）433

16.4　山地车设计（机械／航空航天工程）437

习题438

第4部分　结束语449

PT4.4　权衡449

PT4.5　其他参考文献450

第5部分　曲线拟合451

PT5.1 动机452

PT5.1.1 曲线拟合的非计算机方法452

PT5.1.2 曲线拟合与工程实践453

PT5.2　数学背景454

PT5.2.1　简单统计学454

PT5.2.2　正态分布457

PT5.2.3 置信区间估计457

PT5.3 导读463

PT5.3.1　范围与预览463

PT5.3.2 目标465

第17章　最小二乘回归467

17.1　线性回归467

17.1.1 “最佳”拟合准则468

17.1.2　直线的最小二乘拟合470

17.1.3　线性回归误差量化分析472

17.1.4　线性回归的计算机程序475

17.1.5　非线性关系的线性化478

17.1.6　对线性回归的一般讨论481

17.2　多项式回归482

17.3　多元线性回归485

17.4　一般线性最小二乘法488

17.4.1　线性最小二乘的一般矩阵形式488

17.4.2　正规方程的求解方法490

17.4.3　从统计角度分析最小二乘理论491

17.5　非线性回归493

习题497

第18章　插值503

18.1　牛顿差商插值多项式503

18.1.1　线性插值504

18.1.2　二次插值505

18.1.3　牛顿插值多项式的一般形式507

18.1.4　牛顿插值多项式的误差510

18.1.5　牛顿插值多项式的计算机算法512

18.2　拉格朗日插值多项式514

18.3　插值多项式的系数518

18.4　逆插值519

18.5　进一步讨论520

18.6　样条插值523

18.6.1　线性样条523

18.6.2　二次样条526

18.6.3　三次样条529

18.6.4　三次样条的计算机算法532

习题533

第19章　傅里叶逼近537

19.1　用正弦函数进行曲线拟合538

19.2　连续傅里叶级数544

19.3　频域与时域548

19.4　傅里叶积分与变换552

19.5　离散傅里叶变换（DFT）554

19.6　快速傅里叶变换（FFT）556

19.6.1　Sande-Tukey算法557

19.6.2　Cooley-Tukey算法561

19.7　能量谱561

19.8　利用软件库和软件包进行曲线拟合562

19.8.1 Excel562

19.8.2　MATLAB566

19.8.3　IMSL568

习题571

第20章 曲线拟合案例分析575

20.1 线性回归与人口模型（化学／生物工程）578

20.2　用样条估计热传递（土木／环境工程）580

20.3　傅里叶分析（电气工程）581

20.4　实验数据分析（机械／航空航天工程）581

习题583

第5部分　结束语599

PT5.4　权衡599

PT5.5　重要的关系式与公式600

PT5.6　高级方法与其他参考文献601

第6部分　数值微分和数值积分603

PT6.1　动机604

PT6.1.1　微分和积分的非计算机方法606

PT6.1.2　工程中的数值微分和数值积分609

PT6.2　数学背景612

PT6.3　导读615

PT6.3.1　范围与预览615

PT6.3.2　目标616

第21章　牛顿-柯特斯积分公式619

21.1　梯形法则621

21.1.1　梯形法则的误差623

21.1.2　多应用型梯形法则625

21.1.3　梯形法则的计算机算法629

21.2　辛普森法则631

21.2.1　辛普森1/3法则631

21.2.2　多应用型辛普森1/3法则634

21.2.3　辛普森3/8法则636

21.2.4　辛普森法则的计算机算法638

21.2.5　高阶牛顿-柯特斯闭型公式639

21.3　非等距积分639

21.4　开型积分公式642

21.5　重积分643

习题645

第22章　函数的积分649

22.1 函数的牛顿-柯特斯算法649

22.2　龙贝格积分651

22.2.1　理查森外推法651

22.2.2　龙贝格积分的算法654

22.3 高斯求积公式656

22.3.1　待定系数法657

22.3.2　两点高斯-勒让德公式的推导658

22.3.3　多点公式661

22.3.4　高斯求积公式的误差分析663

22.4　非正常积分663

习题666

第23章　数值微分669

23.1 高精度微分公式669

23.2　理查森外推法672

23.3　非等距数据的微分674

23.4　带误差数据的微分和积分675

23.5　使用软件库和软件包计算数值积分／微分676

23.5.1　MATLAB676

23.5.2　IMSL678

习题680

第24章　数值积分和数值微分案例分析685

24.1 利用积分确定总热量（化学／生物工程）685

24.2　竞赛帆船桅杆上的有效作用力（土木／环境工程）687

24.3　利用数值积分确定均方根电流（电气工程）690

24.4　利用数值积分计算功（机械／航空航天工程）692

习题696

第6部分　结束语711

PT6.4 权衡711

PT6.5　重要的关系式与公式712

PT6.6　高级方法与其他参考文献713

第7部分　常微分方程715

PT7.1 动机716

PT7.1.1　求解常微分方程的非计算机方法717

PT7.1.2　常微分方程和工程实践718

PT7.2　数学背景719

PT7.3　导读721

PT7.3.1　范围与预览722

PT7.3.2 目标723

第25章　龙格-库塔法725

25.1 欧拉方法726

25.1.1　欧拉方法的误差分析728

25.1.2　欧拉方法的算法733

25.1.3　高阶泰勒级数方法736

25.2　欧拉方法的改进736

25.2.1　修恩法736

25.2.2　中点方法741

25.2.3　修恩法和中点方法的计算机算法743

25.2.4　小结743

25.3　龙格-库塔法744

25.3.1　二阶龙格-库塔法744

25.3.2　三阶龙格-库塔法749

25.3.3　四阶龙格-库塔法749

25.3.4　高阶龙格-库塔法751

25.3.5　龙格-库塔法的计算机算法753

25.4　方程组753

25.4.1 欧拉方法754

25.4.2　龙格-库塔法755

25.4.3　求解常微分方程组的计算机算法756

25.5 自适应龙格-库塔法758

25.5.1 自适应龙格-库塔或步长-对分法759

25.5.2　龙格-库塔-费尔贝格法760

25.5.3　步长控制762

25.5.4　计算机算法763

习题765

第26章　刚性和多步法769

26.1 刚性769

26.2　多步法773

26.2.1　非自启动修恩方法774

26.2.2　步长控制和计算机程序781

26.2.3　求积公式782

26.2.4　高阶多步法788

习题792

第27章　边值和特征值问题795

27.1　边值问题的通用方法796

27.1.1　打靶法796

27.1.2　有限差分法799

27.2　特征值问题801

27.2.1　数学背景801

27.2.2　物理背景802

27.2.3　边值问题804

27.2.4　多项式方法807

27.2.5　乘幂法809

27.2.6　其他方法812

27.3　使用程序库和软件包求解常微分方程和特征值问题813

27.3.1 Excel813

27.3.2　MATLAB813

27.3.3　IMSL817

习题819

第28章 常微分方程案例分析825

28.1 利用常微分方程分析反应堆的瞬态反应（化学／生物工程）825

28.2　追捕模型和混沌（土木和环境工程）831

28.3　模拟电路的瞬变电流（电气工程）834

28.4　摆动的钟摆（机械／航空航天工程）839

习题842

第7部分　结束语855

PT7.4　权衡855

PT7.5　重要的关系式与公式856

PT7.6　高级方法与其他参考文献858

第8部分　偏微分方程859

PT8.1　动机860

PT8.1.1　偏微分方程和工程实践861

PT8.1.2　求解偏微分方程的非计算机方法863

PT8.2　导读863

PT8.2.1　范围和与预览863

PT8.2.2 目标864

第29章　有限差分法：椭圆型方程867

29.1　拉普拉斯方程867

29.2　求解方法869

29.2.1　拉普拉斯差分方程870

29.2.2　李布曼方法871

29.2.3　二级变量873

29.3　边界条件875

29.3.1　导数边界条件875

29.3.2　不规则边界878

29.4　控制体积法881

29.5　求解椭圆型方程的软件884

习题885

第30章　有限差分法：抛物型方程887

30.1　热传导方程887

30.2　显式法888

30.2.1　收敛性和稳定性890

30.2.2　导数边界条件891

30.2.3　高阶时间逼近892

30.3　简单的隐式法892

30.4　克兰克-尼科尔森法895

30.5 二维空间上的抛物型方程898

30.5.1　标准显式和隐式格式898

30.5.2　ADI方法899

习题901

第31章　有限元法905

31.1　通用方法906

31.1.1　剖分906

31.1.2　元素方程906

31.1.3　装配909

31.1.4　边界条件909

31.1.5　求解909

31.1.6　后处理909

31.2　有限元法在一维情况下的应用909

31.2.1　剖分911

31.2.2 元素方程911

31.2.3　装配916

31.2.4　边界条件918

31.2.5　求解918

31.2.6　后处理918

31.3　二维问题919

31.3.1　剖分919

31.3.2 元素方程919

31.3.3　边界条件和装配921

31.3.4　求解和后处理921

31.4　使用程序库和软件包求解偏微分方程922

31.4.1　Excel922

31.4.2　MATLAB924

31.4.3　IMSL925

习题928

第32章　偏微分方程案例分析931

32.1　反应堆的一维质量守恒（化学／生物工程）931

32.2　平板的挠曲（土木／环境工程）935

32.3 二维静电场问题（电气工程）937

32.4　用有限元法求解弹簧系统（机械／航空航天工程）940

习题944

第8部分　结束语947

PT8.3　权衡问题949

PT8.4　重要的关系式与公式949

PT8.5 高级方法与其他参考文献950

附录A　傅里叶级数951

附录B 学习使用MATLAB953

参考文献961