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第1章 概率论补充知识1

1.1 概率空间（Ω,F,P）1

1.1.1 事件域F1

1.1.2 概率P2

1.1.3 条件概率空间4

1.1.4 事件的独立性5

1.2 随机变量5

1.2.1 随机变量5

1.2.2 随机向量及其分布6

1.2.3 随机变量的独立性10

1.3 随机向量的数学特征11

1.3.1 数学期望11

1.3.2 协方差和协方差（矩）阵13

1.3.3 相关系数13

1.4 特征函数14

1.4.1 特征函数的定义14

1.4.2 特征函数的性质16

1.4.3 唯一性定理19

1.4.4 多元特征函数21

1.5 n维正态分布22

1.5.1 n维正态向量的特征函数22

1.5.2 n维正态分布的性质24

1.6 极限定理27

1.6.1 随机变量序列的收敛性27

1.6.2 大数定律29

1.6.3 中心极限定理30

1.7 条件数学期望33

1.7.1 随机变量Y关于｛X=x｝的条件数学期望33

1.7.2 随机变量Y关于｛X=x｝的条件数学期望的性质37

1.7.3 随机变量Y关于随机变量X的条件数学期望40

1.7.4 随机变量Y关于｛X1=x1,…,XN=xn｝的条件数学期望42

1.7.5 随机变量Y关于N个随机变量X1,…,XN的条件数学期望43

1.8 L2（Ω,F,P）空间45

1.8.1 内积空间及其性质45

1.8.2 Hilbert空间47

1.8.3 L2（Ω,F,P）空间52

习题154

第2章 随机过程的概念与几类重要的随机过程56

2.1 随机过程的定义56

2.1.1 随机过程的直观背景56

2.1.2 随机过程的定义57

2.2 随机过程的描述58

2.2.1 随机过程的有限维分布函数族及其性质58

2.2.2 随机过程的有限维特征函数族及其性质59

2.2.3 Колмогоров定理59

2.2.4 随机过程的数字特征60

2.3 复随机过程62

2.4 几类重要的随机过程63

2.4.1 二阶矩过程63

2.4.2 正态过程65

2.4.3 正交增量过程67

2.4.4 独立增量过程68

2.5 Wiener过程71

2.6 Poisson过程72

2.6.1 Poisson过程的定义及其数学模型73

2.6.2 Poisson过程的有限维概率分布族、数字特征和有限维特征函数族75

2.6.3 Poisson过程的到达时间间隔和到达时间的分布77

2.7 均方微积分79

2.7.1 随机序列与随机过程的均方极限79

2.7.2 随机过程的均方连续84

2.7.3 随机过程的均方导数85

2.7.4 随机过程的均方积分88

2.8 正态过程的均方微积分95

2.9 均方随机微分方程97

习题2100

第3章 Markov过程106

3.1 Markov过程的概念106

3.2 Markov链及其转移概率108

3.2.1 Markov链及其描述108

3.2.2 齐次Markov链110

3.3 Markov链的状态分类119

3.3.1 Markov链的状态类型119

3.3.2 Markov链状态类型的判别准则123

3.3.3 状态间的关系125

3.4 Markov链状态空间的分解127

3.5 遍历定理130

3.5.1 平稳分布的概念130

3.5.2 不可约遍历Markov链的平稳分布130

3.6 Markov链的应用135

3.6.1 离散分支过程136

3.6.2 Hopfield异步动力学网络的Markov链描述139

3.7 参数连续、可数状态的Markov过程147

3.8 生灭过程及其应用157

3.8.1 生灭过程157

3.8.2 生灭过程的应用实例158

习题3161

第4章 平稳过程169

4.1 平稳过程及其相关函数的性质169

4.1.1 严平稳过程169

4.1.2 宽平稳过程170

4.1.3 联合平稳过程174

4.1.4 平稳过程自相关函数（自协方差函数）的性质175

4.2 平稳过程的功率谱密度177

4.2.1 谱函数和谱密度178

4.2.2 谱密度的物理意义——功率谱密度183

4.2.3 谱密度的性质186

4.2.4 互谱密度及其性质187

4.2.5 δ函数及其应用189

4.2.6 白噪声与限带白噪声192

4.3 线性系统的平稳过程194

4.3.1 线性时不变系统194

4.3.2 线性时不变系统对输入为平稳过程的响应199

4.3.3 输入为两个平稳过程之和的情形204

4.4 平稳过程的谱分解205

4.4.1 平稳过程的谱分解206

4.4.2 平稳时间序列的谱分解208

4.5 平稳过程的各态历经性和采样定理210

4.5.1 平稳过程各态历经性的概念211

4.5.2 各态历经性定理213

4.5.3 平稳过程的采样定理217

4.5.4 均值函数与相关函数的估计220

习题4221

第5章 鞅的初步227

5.1 鞅的定义及其性质227

5.2 鞅的基本不等式和收敛定理230

习题5235

第6章 时间序列分析236

6.1 时间序列的实例236

6.1.1 时间序列实例237

6.1.2 趋势项和周期项的估计和提取239

6.1.3 样本自协方差函数和样本自相关（系数）函数242

6.1.4 数据的平稳性检验244

6.2 各类ARMA过程及二阶统计性质247

6.2.1 因果可逆ARMA（p,q）过程247

6.2.2 ARMA（p,q）过程的二阶统计性质256

6.3 ARMA过程的预报268

6.3.1 平稳序列的预报方程268

6.3.2 最佳线性预报的递归算法269

6.3.3 ARMA过程的递推预报275

6.3.4 ARMA（p,q）过程的h步递推预报280

6.3.5 ARMA过程以｛Xj,—∞＜j≤n｝表示的预报282

6.4 平稳时间序列的ARMA（p,q）模型拟合283

6.4.1 模型识别284

6.4.2 模型的参数估计286

6.4.3 模型拟合优度检验294

6.5 ARIMA过程和SARIMA过程295

6.5.1 ARIMA过程296

6.5.2 SRIMA过程299

习题6301

第7章 小波与时间序列简介304

7.1 小波与连续小波变换304

7.1.1 小波304

7.1.2 连续小波变换305

7.2 连续小波变换的离散化与多分辨分析306

7.2.1 连续小波变换的离散化306

7.2.2 多分辨分析307

7.3 Haar小波和Shannon小波311

7.3.1 Haar小波311

7.3.2 Shannon小波313

7.4 小波与平稳过程314

7.4.1 平稳过程的小波变换314

7.4.2 平稳过程的白化315

7.5 SAR图像双Markov——EAR模型的纹理无监督分割316

7.5.1 SAR图像的双Markov-EAR模型317

7.5.2 双Markov模型的参数估计318

7.5.3 SAR图像纹理双Markov模型的无监督分割算法与实验结果320

参考文献323

附录A 时间序列分析中若干典型问题的计算机模拟计算325

A.1 工业产量一般指标数据的建模问题325

A.2 基于Huron湖水平面数据的建模与预报问题330

A.3 某航空公司旅客人数数据建模与预报问题345

附录B 习题参考答案358