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基础篇3

第1章　概论3

1.1　偏微分方程的基本概念3

1.1.1　偏微分方程简介3

1.1.2　定解条件和定解问题4

1.1.3　定解问题的适定性5

1.1.4　叠加原理5

1.2　数学模型的建立6

1.2.1　波动问题6

1.2.2　输运问题8

1.2.3　稳定场问题10

1.2.4　三类问题的定解条件10

1.3　方程的分类及特征的概念14

小结17

中英文词汇对照18

习题119

第2章　分离变量法21

2.1 两端固定的弦自由振动问题21

2.2　有限长杆上的热传导问题27

2.3　二维拉普拉斯方程的边值问题29

2.3.1　矩形域上拉普拉斯方程的边值问题29

2.3.2　圆域上拉普拉斯方程的边值问题33

2.4　非齐次方程的解法36

2.4.1　两端固定弦的强迫振动36

2.4.2　有热源的有限长杆上的热传导39

2.4.3　泊松方程40

2.5　非齐次边界条件的齐次化42

2.6　关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论46

小结47

中英文词汇对照49

习题249

第3章　行波法53

3.1　一阶线性偏微分方程的特征线法53

3.2　一维波动方程的初值问题55

3.2.1　一维齐次波动方程的通解56

3.2.2　一维齐次波动方程的初值问题56

3.2.3　解的物理意义57

3.3　半无界弦问题59

3.3.1　端点固定59

3.3.2　端点自由60

3.4　三维波动方程的初值问题61

3.4.1　三维波动方程的球对称解61

3.4.2　三维波动方程的泊松公式62

3.4.3　泊松公式的物理意义65

3.5　齐次化原理67

小结69

中英文词汇对照72

习题373

第4章　积分变换法75

4.1　傅里叶变换75

4.1.1　傅里叶变换的定义75

4.1.2　傅里叶变换的性质77

4.1.3　傅里叶变换求解定解问题举例79

4.2　拉普拉斯变换82

4.2.1　拉普拉斯变换的定义82

4.2.2　拉普拉斯变换的性质85

4.2.3　拉普拉斯变换解题举例87

小结91

中英文词汇对照92

习题492

第5章　格林函数法95

5.1　拉普拉斯方程边值问题的提法95

5.1.1　内问题95

5.1.2　外问题97

5.2　格林公式97

5.2.1　格林公式97

5.2.2　调和函数的积分表达式98

5.2.3　调和函数的性质100

5.3　格林函数102

5.3.1　格林函数的引入102

5.3.2　格林函数的性质103

5.4 两种特殊区域的格林函数及拉普拉斯方程的第一边值问题的解107

5.4.1　上半空间的格林函数107

5.4.2　球形区域内的格林函数110

小结113

中英文词汇对照113

习题5114

第6章　贝塞尔函数115

6.1　贝塞尔方程与贝塞尔函数115

6.2　贝塞尔函数的性质120

6.2.1　整数阶贝塞尔函数120

6.2.2　贝塞尔函数的递推公式120

6.2.3　半奇数阶贝塞尔函数121

6.2.4　贝塞尔函数的零点122

6.3　傅里叶-贝塞尔级数124

6.3.1　贝塞尔函数的正交性124

6.3.2　傅里叶-贝塞尔级数127

6.4　贝塞尔函数在分离变量法中的应用129

6.5　虚宗量的贝塞尔函数132

小结135

中英文词汇对照136

习题6136

第7章　勒让德多项式138

7.1　勒让德方程及其求解138

7.2　勒让德多项式及其性质139

7.2.1　勒让德多项式139

7.2.2　罗德里格斯公式142

7.2.3　勒让德多项式的递推公式142

7.3　傅里叶-勒让德级数143

7.3.1　勒让德函数的正交性143

7.3.2　傅里叶-勒让德级数145

7.4　勒让德多项式在分离变量法中的应用146

7.5　连带的勒让德多项式148

小结150

中英文词汇对照150

习题7151

仿真篇155

第8章　数学物理方程的计算机仿真求解155

8.1　偏微分方程工具箱的功能155

8.1.1　偏微分方程工具箱简介155

8.1.2　PDE Toolbox求解的基本方程类型155

8.1.3　定解问题的设置最简单的办法156

8.1.4　用GUI解PDE问题主要使用模式156

8.1.5　PDE Toolbox菜单156

8.2　典型方程的仿真求解160

8.2.1　求解椭圆型方程160

8.2.2　求解双曲型方程165

8.3　常用仿真语句168

8.3.1　求解方程的仿真语句168

8.3.2　动画图形显示语句168

习题8168

第9章　特殊函数的计算机仿真应用170

9.1　连带勒让德函数、勒让德函数、球函数170

9.1.1　连带勒让德函数170

9.1.2　勒让德多项式171

9.1.3　球函数171

9.1.4　勒让德多项式的母函数172

9.2　贝塞尔函数173

9.2.1　贝塞尔函数173

9.2.2　球贝塞尔函数177

9.2.3　平面波用柱面波形式展开178

9.2.4　定解问题的图形显示179

9.3　其他特殊函数180

习题9181

应用篇185

第10章　数学物理方程在其他学科中的应用185

10.1　在人口问题中的应用185

10.2　在传染病动力学中的应用187

10.3　在城市交通问题中的应用189

10.4　在生物医药问题中的应用191

10.5　在石油开采问题中的应用193

10.6　在两相问题中的应用195

10.7　在水声物理中的应用197

10.7.1　波动方程197

10.7.2　各向均匀的球面波199

10.7.3　一般球面波200

10.7.4　球面振速已知的球面波203

参考答案205

参考文献210

附录A　傅里叶变换简表211

附录B　拉普拉斯变换简表213