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第8章 多元函数微分法及其应用1

8.1二元函数1

8.1.1预备知识1

8.1.2二元函数的概念3

8.1.3二元函数的极限和连续5

习题8.111

8.2偏导数12

8.2.1二元函数的增量12

8.2.2偏导数的概念及其计算12

8.2.3高阶偏导数18

习题8.220

8.3全微分21

8.3.1全微分定义21

8.3.2函数可微分的条件21

8.3.3全微分在近似计算中的应用25

习题8.326

8.4多元复合函数的求导法则27

8.4.1多元复合函数的复合关系27

8.4.2多元复合函数的求导法则28

8.4.3全微分形式不变性35

习题8.436

8.5隐函数的求导法37

8.5.1由方程F（x，y）=0所确定的隐函数的导数37

8.5.2由方程F （x， y， z） =0所确定的隐函数的导数38

8.5.3由方程组所确定的隐函数的导数40

习题8.542

8.6偏导数的几何应用43

8.6.1相关概念43

8.6.2空间曲线的切线方程与法平面方程44

8.6.3曲面的切平面方程与法线方程47

习题8.650

8.7方向导数与梯度51

8.7.1方向导数51

8.7.2梯度53

习题8.754

8.8二元函数的极值55

8.8.1二元函数的极值55

8.8.2二元函数的最大值与最小值58

8.8.3二元函数的条件极值60

习题8.863

数学实验六64

第9章 重积分68

9.1二重积分的概念68

9.1.1二重积分的定义70

9.1.2二重积分的性质71

习题9.173

9.2二重积分的计算74

9.2.1直角坐标系下二重积分的计算74

9.2.2极坐标下二重积分的计算78

习题9.283

9.3三重积分84

9.3.1三重积分的概念84

9.3.2直角坐标下三重积分的计算86

9.3.3柱坐标下三重积分的计算88

9.3.4球坐标下三重积分的计算90

习题9.393

数学实验七95

第10章 曲线积分与曲面积分98

10.1准备知识98

10.1.1场的概念98

10.1.2单连通与复连通区域98

10.1.3平面区域D的边界曲线L的正向99

10.1.4曲面的侧与有向曲面99

10.2对弧长的曲线积分100

10.2.1对弧长的曲线积分的概念100

10.2.2对弧长的曲线积分的性质101

10.3对弧长的曲线积分的计算102

习题10.3104

10.4对坐标的曲线积分106

10.4.1对坐标的曲线积分的概念106

10.4.2对坐标的曲线积分的性质107

10.4.3对坐标的曲线积分的计算107

习题10.4109

10.5格林公式及其应用111

10.5.1格林公式111

10.5.2格林公式的简单应用115

习题10.5115

10.6平面上曲线积分与路径无关的条件117

10.6.1曲线积分与路径无关的概念117

10.6.2曲线积分与路径无关的条件118

10.6.3全微分求积120

10.6.4两类曲线积分之间的关系122

习题10.6123

10.7对面积的曲面积分124

10.7.1对面积的曲面积分的概念124

10.7.2对面积的曲面积分的性质125

10.7.3对面积的曲面积分的计算126

习题10.7131

10.8对坐标的曲面积分132

10.8.1对坐标的曲面积分的概念132

10.8.2对坐标的曲面积分的性质135

10.8.3对坐标的曲面积分的计算135

习题10.8138

10.9高斯公式140

习题10.9142

10.10斯托克斯公式144

习题10.10146

10.11积分学的应用146

10.11.1积分学的几何应用146

10.11.2积分学的物理应用149

习题10.11156

数学实验八157

第11章 无穷级数159

11.1常数项级数的概念和性质159

11.1.1常数项级数的概念159

11.1.2级数收敛的必要条件162

11.1.3收敛级数的基本性质162

习题11.1163

11.2常数项级数的审敛法164

11.2.1正项级数及其审敛法164

11.2.2任意项级数及其审敛法170

习题11.2174

11.3幂级数175

11.3.1函数项级数175

11.3.2幂级数及其收敛性176

11.3.3幂级数的运算性质180

习题11.3182

11.4函数展开成幂级数183

11.4.1泰勒公式184

11.4.2泰勒级数185

11.4.3某些初等函数的幂级数展开式186

习题11.4190

11.5傅里叶级数191

11.5.1三角函数系及其正交性191

11.5.2三角级数与傅里叶级数191

11.5.3函数展开成傅里叶级数193

习题11.5199

数学实验九200

第12章 常微分方程205

12.1微分方程的基本概念205

习题12.1208

12.2一阶微分方程209

12.2.1可分离变量的微分方程209

12.2.2齐次微分方程212

12.2.3一阶线性微分方程216

12.2.4伯努利方程219

12.2.5全微分方程220

习题12.2225

12.3可降阶的高阶微分方程227

12.3.1 y（n）= f （x） 型微分方程227

12.3.2y″=f（x，y′）型微分方程227

12.3.3y″= f （y，y′）型微分方程229

习题12.3231

12.4二阶线性微分方程解的结构232

12.4.1二阶齐次线性微分方程解的结构232

12.4.2二阶非齐次线性微分方程解的结构234

习题12.4236

12.5二阶常系数线性微分方程236

12.5.1二阶常系数齐次线性微分方程237

12.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程240

习题12.5247

数学实验十247

习题参考答案252

附录273

附录1常用的初等数学公式273

附录2积分表276

附录3 Mathematica简介284

参考文献296