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第一篇 微积分学引论1

第一章 函数1

1.1 常量和变量1

一、常量和变量1

二、区间和邻域2

习题1—14

1.2 函数的概念及函数的表示法4

一、引例4

二、函数的定义6

三、函数的表示法8

四、分段函数9

习题1—211

一、函数的有界性12

1.3 函数的几种简单性质12

二、函数的单调性13

三、函数的奇偶性14

四、函数的周期性15

习题1—316

1.4 反函数与复合函数17

一、反函数的概念17

二、反函数的图形18

三、复合函数的概念19

习题1—421

1.5 基本初等函数与初等函数21

一、基本初等函数21

二、初等函数27

习题1—529

1.6 建立函数关系举例30

习题1—631

第二章 函数的极限33

2.1 数列的极限33

一、引例33

二、数列的定义及其性质35

三、数列的极限36

四、数列极限的存在准则41

五、数列极限的四则运算法则45

习题2—148

2.2 函数的极限50

一、自变量x趋向无穷大时函数f（x）的极限51

二、自变量x趋向于定数x0时函数的极限53

三、函数的左、右极限57

四、函数极限的性质58

五、函数极限的四则运算法则59

六、函数极限的存在准则及两个重要极限61

习题2—264

2.3 无穷大与无穷小65

一、无穷大66

二、无穷小67

三、无穷大与无穷小之间的关系68

四、无穷小与函数极限之间的关系68

五、无穷小的性质69

六、无穷小的比较70

习题2—373

第三章 函数的连续性74

3.1 函数的连续性概念74

一、函数连续性的定义74

二、左连续和右连续的概念76

三、函数的间断点及其分类78

习题3—181

3.2 连续函数的运算与初等函数的连续性82

一、连续函数的和、差、积、商的连续性82

二、反函数的连续性83

三、复合函数的连续性83

四、初等函数的连续性84

习题3—285

3.3 闭区间上连续函数的性质86

习题3—388

第二篇 一元函数微分学89

第四章 函数的导数89

4.1 导数的概念89

一、引例90

二、导数的定义91

三、左导数与右导数95

四、导数的几何意义96

五、函数的可导性与连续性之间的关系98

习题4—199

4.2 函数的求导法则及基本导数公式101

一、函数的和、差、积、商的求导法则101

二、反函数的求导法则104

三、复合函数的求导法则106

习题4—2109

4.3 初等函数的导数及分段函数求导举例110

习题4—3114

4.4 高阶导数115

习题4—4118

4.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数119

一、隐函数及其求导方法119

二、对数求导法121

三、由参数方程所确定的函数及其求导方法122

习题4—5125

第五章 函数的微分126

5.1 函数的微分概念126

一、引例126

二、微分的定义127

三、微分与导数之间的关系127

四、微分的几何意义129

习题5—1130

5.2 基本初等函数的微分公式及微分运算法则130

一、基本初等函数的微分公式130

二、函数的和、差、积、商的微分法则131

三、复合函数的微分法则132

习题5—2133

一、计算函数的增量及函数值的近似值134

5.3 微分在近似计算中的应用134

二、误差估计136

习题5—3137

第六章 中值定理139

6.1 中值定理139

一、罗尔（Rolle）中值定理（简称罗尔定理）139

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理141

三、柯西（Cauchy）中值定理144

四、泰勒（Taylor）中值定理145

*五、中值定理应用举例150

习题6—1152

6.2 罗必塔（L′Hospital）法则153

一、0/0型未定式153

二、∞/∞型未定式155

三、其他类型的未定式156

习题6—2159

第七章 导数的应用160

7.1 函数单调增减性的判别法160

一、函数增减性的判别法160

二、利用函数的增减性证明不等式163

7.2 函数的极值及其求法164

7.3 函数的最大值和最小值及其应用167

习题7—1,7—2,7—3170

7.4 曲线的凹凸性及其判别法172

一、曲线的凹凸性172

二、曲线的拐点174

习题7—4176

7.5 函数图形的描绘176

一、曲线的渐近线176

二、函数作图177

习题7—5180

7.6 曲线的曲率181

一、弧长的微分181

二、曲率及其计算公式183

三、曲率圆、曲率半径187

四、曲率中心189

习题7—6189

第三篇 一元函数积分学191

第八章 不定积分191

8.1 原函数与不定积分191

一、原函数与不定积分的概念191

二、不定积分的性质195

三、基本积分公式196

四、直接积分法197

习题8—1200

一、第一类换元法（凑微分法）201

8.2 换元积分法201

习题8—2(1)207

二、第二类换元法209

习题8—2(2)216

8.3 分部积分法216

习题8—3220

8.4 有理函数及三角函数有理式的积分221

一、有理函数的积分221

二、三角函数有理式的积分226

习题8—4228

第九章 定积分230

9.1 定积分的概念230

一、引例230

二、定积分的定义233

三、定积分的几何意义235

习题9—1237

9.2 定积分的性质238

习题9—2242

9.3 牛顿（Newton）－莱布尼兹（Leibniz）公式242

一、积分上限的函数及其导数242

二、牛顿－莱布尼兹公式245

习题9—3246

9.4 定积分的换元法与分部积分法247

一、定积分的换元法247

习题9—4(1)252

二、定积分的分部积分法253

习题9—4(2)255

9.5 定积分的近似计算256

一、矩形法256

二、梯形法257

三、抛物线法258

习题9—5261

9.6 广义积分261

一、无穷区间上的广义积分261

二、无界函数的广义积分263

习题9—6266

第十章 定积分的应用267

10.1 定积分的元素法267

10.2 平面图形的面积269

一、直角坐标系中平面图形面积的计算269

二、极坐标系中平面图形面积的计算273

习题10—2275

10.3 立体的体积276

一、旋转体的体积276

二、平行截面面积为已知的立体体积278

习题10—3280

10.4 平面曲线的弧长280

一、直角坐标系中平面曲线的弧长280

二、极坐标系中平面曲线的弧长282

习题10—4283

10.5 定积分在物理上的应用284

一、变力所作的功284

二、液体的侧压力286

习题10—5287

第四篇 常微分方程289

第十一章 一阶微分方程289

11.1 微分方程的基本概念289

一、引例289

二、微分方程的基本概念291

习题11—1293

11.2 变量可分离的一阶微分方程及294

齐次微分方程294

一、变量可分离的一阶微分方程295

二、齐次微分方程297

习题11—2300

11.3一阶线性微分方程301

习题11—3307

11.4 一阶微分方程的应用举例307

习题11—4312

第十二章 高阶微分方程314

12.1 可降阶的高阶微分方程314

一、y(n)=f(x)型314

二、y″=f(x,y′)型315

三、y″=f(y,y′)型317

习题12—1319

12.2 二阶线性微分方程320

一、二阶线性微分方程的概念320

二、二阶线性齐次微分方程解的性质及通解结构323

三、二阶线性非齐次微分方程通解的结构325

习题12—2327

12.3 二阶线性常系统齐次微分方程的解法328

习题12—3333

12.4 二阶线性常系数非齐次微分方程的解法334

一、f(x)=Pm(x)eλx型334

二、f(x)=eλx(Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx)型339

习题12—4342

12.5 二阶线性微分方程的应用举例343

习题12—5353

习题答案355