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第一篇 分析引论3

第一章 集合、映射与函数3

1.1 集合与实数3

一、集合及其表示法3

二、集合间的关系与运算5

三、实数及其性质13

习题1.118

1.2 映射与函数20

一、对应和映射20

二、函数22

习题1.231

1.3 函数的运算32

一、函数的四则运算32

二、函数的复合33

三、反函数及其求法39

1.4 初等函数44

一、基本初等函数44

二、初等函数47

三、初等函数与分段函数的一些关系及其应用48

四、函数的定义域和值域的一般求法57

习题1.463

1.5 函数的几个基本性质65

一、函数的有界性65

二、函数的单调性67

三、函数的奇偶性71

四、函数的周期性74

习题1.579

第二章 极限的概念，理论和方法81

2.1 数列极限81

一、数列极限的概念81

二、“e一N”方法及其初步应用92

三、数列极限的基本性质及其应用107

四、收敛数列的判别准则及其应用121

习题2.1147

2.2 函数极限150

一、函数极限的概念151

二、“？—δ”方法及其初步应用164

三、函数极限的性质、判别准则及其应用172

四、函数极限与数列极限的关系186

习题2.2190

2.3 数量级及其应用194

一、无穷小量194

二、无穷大量195

三、数量级及其应用196

习题2.3201

第三章 实数的连续性及其应用203

3.1 确界存在原理及其应用203

一、确界存在原理203

二、函数的确界207

习题3.1208

3.2 区间套定理及其应用209

习题3.2212

3.3 海涅－波雷尔有限覆盖定理及其应用213

习题3.3216

3.4 实数连续性命题的等价性216

习题3.4217

3.5 上极限和下极限及其应用218

习题3.5223

第四章 函数的连续性与致连续性224

4.1 函数连续的概念224

一、连续函数的概念224

二、函数的间断点及其分类228

三、区间上的连续函数231

四、函数连续的条件234

习题4.1239

4.2 连续函数的性质240

一、连续函数的基本性质及其应用240

二、连续函数的著名定理及其应用252

三、连续函数的一些典型问题及方法265

习题4.2276

4.3 一致连续性278

一、一致连续的概念278

二、一致连续的条件及运算性质280

三、一致连续的一些典型问题及方法289

习题4.3298

第二篇 一元函数微分学303

第五章 导数、微分及其计算方法303

5.1 导数的概念与计算方法303

一、导数的概念303

二、函数可导与连续的关系311

三、导数的计算方法与技巧314

习题5.1359

5.2 微分及其计算方法361

一、微分的概念361

二、微分的性质及其与导数的区别364

三、微分的求法及其在近似计算中的应用367

习题5.2373

第六章 微分中值定理及其应用375

6.1 中值定理375

一、微分中值定理375

二、中值定理的应用方法与技巧382

习题6.1394

6.2 洛比达法则395

一、洛比达法则395

二、洛比达法则的应用方法与技巧398

习题6.2405

6.3 泰勒公式406

一、泰勒定理406

二、泰勒定理的应用方法与技巧410

习题6.3418

第七章 导数的应用419

7.1 函数的单调性419

一、单调性的充要条件419

二、严格单调性的充分条件421

三、单调性判别定理的应用与单调区间的求法423

习题7.1428

7.2 函数的极值及其判定方法428

一、函数的极大与极小428

二、函数极值的判定和计算430

习题7.2439

7.3 函数最大（小）值的计算及其应用439

一、基本理论439

二、函数最大值、最小值的一般求法440

三、最大值和最小值的应用问题举例442

习题7.3447

7.4 函数的凹凸性447

一、函数的凹凸性448

二、函数凹凸性的等价条件451

三、拐点455

习题7.4457

7.5 不等式的证明方法458

一、利用导数的定义458

二、利用函数的单调性458

三、利用函数的极值和最值462

四、利用凸函数465

习题7.5467

7.6 方程实根的存在性与个数469

习题7.6472

7.7 渐近线472

一、垂直渐近线473

二、水平渐近线474

三、倾斜渐近线474

习题7.7477

7.8 函数的作图478

习题7.8481

7.9 在几何方面的应用482

一、曲线的切线和法线482

二、弧的微分485

三、曲率的定义及其计算486

四、曲率圆和曲率中心490

习题7.9494

第三篇 一元函数积分学497

第八章 不定积分及其计算方法与技巧497

8.1 不定积分的基本概念497

一、原函数与不定积分497

二、原函数存在定理503

三、不定积分的几何解释504

习题8.1507

8.2 直接积分法509

习题8.2514

8.3 换元法与分部积分法515

一、第一换元法（凑微分法）515

二、第二换元法523

三、分部积分法532

四、基本积分方法小结542

习题8.3544

8.4 某些初等函数的积分法547

一、几类初等函数积分的划分547

二、有理函数的积分549

三、三角函数有理式的积分556

四、简单无理函数的积分563

习题8.4576

第九章 定积分的概念、理论与方法579

9.1 定积分的定义及可积条件579

一、定积分的定义579

二、定积分的存在性条件及可积函数类582

三、基本方法与典型问题586

习题9.1588

9.2 定积分的性质589

一、定积分的基本性质590

二、定积分的一些典型问题与方法591

习题9.2595

9.3 定积分的计算596

一、微积分学基本定理与定积分的变量替换596

二、定积分的计算方法与技巧599

习题9.3612

9.4 积分中值定理及其应用614

一、积分中值定理614

二、积分中值定理的应用方法616

习题9.4621

第十章 定积分的应用623

10.1 微元法623

一、什么是定积分的微元法623

二、用微元法求定积分表达式的一般步骤624

三、微元法求出的是近似值还是精确值625

10.2 定积分在几何方面的应用626

一、平面图形的面积626

二、光滑曲线的弧长634

三、旋转体的体积638

四、已知截面面积函数求立体的体积638

五、旋转体的侧面积644

10.3 定积分在物理学和力学上的应用646

一、压力与功646

二、静力矩与重心649

三、函数平均值650

10.4 定积分的其它应用举例652

10.5 定积分在初等数学中的应用652

一、推导或证明恒等式653

二、证明不等式654

习题10.1657

附录 常见曲线的方程与图形660

主要参考文献664