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目 录1

绪论1

第一章数学物理反问题的提法6

§1.1 振动系统中的反问题6

1.1.1地震勘探——本书重点讨论的应用实例6

1.1.2振动探伤12

1.1.3频域上的反问题15

§1.2 扩散（传导）系统中的反问题17

1.2.1石油、地下水与天然气的开发问题17

1.2.2两相分界面的辨识问题19

1.2.3热传导反问题24

§1.3 稳态分布中的反问题27

1.3.1扩散炉的炉丝设计问题27

1.3.2心脏死亡问题30

1.3.3隧道工程中由实测位移反演介质及初始应力场31

1.3.4 CT技术中的反问题34

§1.4 数学物理反问题的一般提法35

练习与思考（一）38

§2.1 泛函分析预备知识41

2.1.1抽象空间概念41

第二章反演中的若干理论问题41

2.1.2本书所用到的函数空间定义与符号44

2.1.3泛函与算子45

2.1.4广义函数与广义导数48

§2.2 解反问题的特点与难点50

2.2.1解反问题的特点50

2.2.2解反问题的难点51

§2.3 反问题的解的定义57

2.3.1精确解57

2.3.2最优控制解57

2.3.4选择解59

2.3.3最小偏差解59

2.3.5正规解60

2.3.6正则解61

§2.4 解的适定性问题62

2.4.1唯一性问题62

2.4.2稳定性反例68

2.4.3收敛性问题70

§2.5 灵敏度73

2.5.1灵敏度的定义73

2.5.2灵敏度与解的适定性74

2.5.3灵敏度与非线性75

2.5.4灵敏度应用实例76

练习与思考（二）81

第三章线性代数方程中的反演问题83

§3.1 最小方差解84

3.1.1最小方差解的定义84

3.1.2最小方差解的统计特性86

3.1.3最小方差解的一些特殊算法89

§3.2 求系统的脉冲响应99

3.2.1脉冲响应的最小方差估计99

3.2.2相关函数，维纳一霍夫方程101

3.2.3最优输入讯号及其近似构成104

3.2.4方法综合107

§3.3 已知部分解条件下的反演108

3.3.1反演非齐次项109

3.3.2反演系数117

§3.4 欠定条件下的反演120

3.4.1求正规解122

3.4.2正规解的不稳定性123

3.4.3求正则解126

附录产生PRBS的计算机程序129

练习与思考（三）129

4.1.1问题的提出131

§4.1 基本概念与不适定问题的例子131

第四章一般线性系统的不适定问题131

4.1.2不适定问题的例子133

§4.2 选择解与最小偏差解139

4.2.1选择解139

4.2.2最小偏差解141

4.2.3最小偏差解的近似求法145

§4.3 正则化方法147

4.3.1正则逆算子147

4.3.2构造正则逆算子150

4.3.3正则化方法153

4.3.4解对算子的连续依赖性155

4.3.5正则参数的确定157

§4.4 用正则法解应用问题160

4.4.1解第一类积分方程160

4.4.2确定各种辐射的谱162

4.4.3 由长电缆的输出计算输入164

练习与思考（四）169

第五章最佳控制方法——变分方法171

§5.1 最佳控制问题的一般提法171

5.1.1系统的状态方程171

5.1.2容许控制集与可比控制集173

5.1.4最佳控制与古典变分问题的区别174

5.1.3泛函指标174

§5.2变分方法基础175

5.2.1微分公式与极值问题175

5.2.2变分学与Eular公式178

5.2.3最速下降法184

§5.3 最佳控制的乘子方法及其应用185

5.3.1集中参数系统的乘子方法185

5.3.2分布参数系统的乘子方法191

5.3.3乘子法应用例题196

5.4.1基本定理202

§5.4 脉冲变分原理202

5.4.2控制仅依赖部分变元的脉冲变分原理212

§5.5 脉冲变分原理的应用213

5.5.1源函数的最优设计（或辨识问题）213

5.5.2地震勘探问题219

§5.6 灵敏度计算224

练习与思考（五）228

第六章其它若干解反问题的方法231

§6.1 脉冲谱方法231

6.1.1脉冲谱方法的基本思路231

6.1.2脉冲谱方法应用举例236

6.1.3几点讨论241

§6.2 扰动方法242

6.2.1扰动方法基础243

6.2.2解双线性系统的反问题246

6.2.3解非线性系统的反问题249

6.2.4几点讨论251

§6.3 典型函数近似法252

6.3.1典型函数近似法的基本思想253

6.3.2几种近似方法举例255

6.3.3 Duhamel公式259

6.3.4随采样时间增加的递推算法262

6.3.5热传导反问题的灵敏度计算264

§6.4 求未知边界问题265

6.4.1几何变换法265

6.4.2优化方法268

练习与思考（六）271

第七章波动现象反演的特殊方法273

§7.1 一维波动方程沿特征线积分反演274

7.1.1一维方程组模型274

7.1.2沿特征线积分275

7.1.3反演计算278

§7.2 一维分层介质逐层递推反演280

7.2.1 Cauchy问题模型与正演公式281

7.2.2噪声积累的估计284

7.2.3反演递推公式285

7.2.4消除积累误差288

§7.3 吸收边界条件290

§7.4 Born近似与频域上的反演293

7.4.1一维Born近似293

7.4.2频域反演公式296

7.4.3频域反演的特殊性302

7.4.4多层介质与误差的积累305

§7.5 固有值反问题307

7.5.1基本概念与问题的提出307

7.5.2唯一性、比较定理与渐近估计313

7.5.3反演方法316

练习与思考（七）321

第八章分布参数系统控制中的几类应用问题323

§8.1 综述324

8.1.1历史简介324

8.1.2分析与发展325

§8.2 大滞后分布对象的复合控制系统329

8.2.1问题与模型329

8.2.2稳态分布关系331

8.2.3稳态前馈补偿333

8.2.4复合控制系统334

8.2.5综合说明337

§8.3 远距离多个热负载的节能控制系统338

8.3.1数学模型与控制问题338

8.3.2控制系统设计342

8.3.3控制系统评价347

§8.4 大型分布对象的最佳控制348

8.4.1模型348

8.4.2稳态控制问题351

8.4.3动态控制问题353

8.5.1观测点的选择354

§8.5 观测点与控制点的选择354

8.5.2控制点的选择355

8.5.3动态控制点的最佳选择356

练习与思考（八）359

第九章反演方法的评价与系统仿真361

§9.1 反演方法的检验361

§9.2 反演效果的评价指标366

§9.3 系统建模与仿真368

9.3.1系统仿真与模型368

9.3.2模型误差分析370

9.3.3在线辨识与建模374

参考文献376