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第1章 绪论1

1.1 基本概念1

1.1.1 定义与例子1

1.1.2 叠加原理3

1.2 定解问题5

1.2.1 定解条件与定解问题5

1.2.2 定解问题的适定性7

1.3 二阶半线性方程的分类与标准型8

1.3.1 多个自变量的方程8

1.3.2 两个自变量的方程10

1.3.3 方程化为标准型13

习题118

第2章 一阶拟线性方程23

2.1 一般理论23

2.1.1 特征曲线与积分曲面23

2.1.2 初值问题25

2.1.3 例题29

2.2 传输方程32

2.2.1 齐次方程的初值问题 行波解33

2.2.2 非齐次传输方程34

习题235

第3章 波动方程36

3.1 一维波动方程的初值问题37

3.1.1 d’Alembert公式 反射法37

3.1.2 依赖区域 决定区域 影响区域40

3.1.3 初值问题的弱解41

3.2 一维波动方程的初边值问题42

3.2.1 齐次方程的初边值问题 特征线法43

3.2.2 齐次方程的初边值问题 分离变量法45

3.2.3 非齐次方程的初边值问题 特征函数展开法48

3.3 Sturm-Liouville特征值问题51

3.3.1 特征函数的性质53

3.3.2 特征值与特征函数的存在性54

3.3.3 特征函数系的完备性58

3.3.4 例题60

3.4 高维波动方程的初值问题66

3.4.1 球面平均法Kirchhoff公式66

3.4.2 降维法Poisson公式70

3.4.3 非齐次方程Duhamel原理72

3.4.4 Huygens原理 波的弥散74

3.5 能量法 解的唯一性与稳定性76

3.5.1 能量等式 初边值问题解的唯一性77

3.5.2 能量不等式 初边值问题解的稳定性78

3.5.3 初值问题解的唯一性81

习题383

第4章 热传导方程91

4.1 初值问题92

4.1.1 Fourier变换及其性质93

4.1.2 解初值问题95

4.1.3 解的存在性97

4.2 最大值原理及其应用100

4.2.1 最大值原理100

4.2.2 初边值问题解的唯一性与稳定性102

4.2.3 初值问题解的唯一性与稳定性103

4.2.4 例题104

4.3 强最大值原理111

习题4115

第5章 位势方程121

5.1 基本解121

5.1.1 基本解Green公式122

5.1.2 平均值等式124

5.1.3 最大最小值原理及其应用125

5.2 Green函数128

5.2.1 Green函数的导出及其性质128

5.2.2 球上的Green函数Poisson积分公式130

5.2.3 上半空间上的Green函数132

5.2.4 球上Dirichlet问题解的存在性134

5.2.5 能量法136

5.3 调和函数的基本性质138

5.3.1 逆平均值性质138

5.3.2 Harnack不等式139

5.3.3 Liouville定理140

5.3.4 奇点可去性定理141

5.3.5 正则性141

5.3.6 微商的局部估计143

5.3.7 解析性144

5.3.8 例题145

5.4 Hopf最大值原理及其应用151

5.4.1 Hopf最大值原理151

5.4.2 应用152

5.5 位势方程的弱解153

5.5.1 伴随微分算子与伴随边值问题153

5.5.2 弱微商及其简单性质156

5.5.3 Sobolev空间H1（Ω）与H10（Ω）159

5.5.4 弱解的存在唯一性162

习题5165

第6章 变分法与边值问题171

6.1 边值问题与算子方程171

6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理171

6.1.2 正算子与算子方程172

6.1.3 正定算子 弱解存在性176

6.2 Laplace算子的特征值问题182

6.2.1 特征值与特征函数的存在性182

6.2.2 特征值与特征函数的性质186

习题6188

第7章 特征理论 偏微分方程组191

7.1 方程的特征理论191

7.1.1 弱间断解与弱间断面191

7.1.2 特征方程与特征曲面193

7.2 方程组的特征理论197

7.2.1 弱间断解与特征线198

7.2.2 狭义双曲型方程组的标准型200

7.3 双曲型方程组的Cauchy问题202

7.3.1 解的存在性与唯一性203

7.3.2 解的稳定性206

7.4 Cauchy-Kovalevskaja定理206

7.4.1 Cauchy-Kovalevskaja型方程组207

7.4.2 Cauchy问题的化简207

7.4.3 强函数209

7.4.4 Cauchy-Kovalevskaja定理的证明211

习题7213

第8章 广义函数与基本解218

8.1 基本空间218

8.1.1 引言218

8.1.2 基本空间D（RN）和ε（RB）220

8.1.3 基本空间φ（RN）及其上的Fourier变换221

8.2 广义函数空间229

8.2.1 概念与例子229

8.2.2 广义函数的收敛性230

8.2.3 自变量的变换233

8.2.4 广义函数的微商与乘子234

8.2.5 广义函数的支集236

8.2.6 广义函数的卷积238

8.2.7 φ’空间上的Fourier变换243

8.3 基本解246

8.3.1 基本解的概念246

8.3.2 热传导方程及其Cauchy问题的基本解249

8.3.3 波动方程Cauchy问题的基本解251

8.3.4 调和、重调和及多调和算子的基本解252

习题8255

索引260