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引言1

第1章 复数和复变函数及其极限2

1.1　复数及其运算2

1.1.1　复数的概念及其表示法2

1.1.2 复数的代数运算4

1.1.3 扩充复平面与复球面7

习题1.19

习题1.1答案10

1.2　复平面上曲线和区域11

1.2.1 复平面上曲线方程的各种表示11

1.2.2 连续曲线和简单曲线与光滑曲线13

1.2.3　平面点集与区域13

习题1.216

习题1.2答案17

1.3　复变函数与整线性映射18

1.3.1 复变函数的概念18

1.3.2　复映射—复变函数的几何意义19

1.3.3　整线性映射及其保圆性21

习题1.323

习题1.3答案23

1.4　复变函数的极限和连续24

1.4.1 复变函数的极限24

1.4.2　复变函数的连续性26

习题1.427

习题1.4答案28

第2章　解析函数29

2.1　复变函数的导数29

2.1.1 导数的概念及其求导法则29

2.1.2　微分的定义及其可微的充要条件31

习题2.134

习题2.1答案35

2.2 函数的解析性和指数函数35

2.2.1 函数解析的概念和充要条件35

2.2.2　解析函数的运算性质37

2.2.3 指数函数exp（z）=ez37

习题2.239

习题2.2答案41

2.3　初等解析函数41

2.3.1　对数函数42

2.3.2　幂函数43

2.3.3 三角函数和双曲函数44

2.3.4 反三角函数和反双曲函数47

习题2.348

习题2.3答案49

第3章　复积分51

3.1　复积分的概念及其性质51

3.1.1　复变函数积分的概念51

3.1.2　复积分的存在性及其一般计算公式52

3.1.3 复积分的简单性质55

习题3.157

习题3.1答案59

3.2　积分与其路径的无关性59

3.2.1 复积分与其积分路径无关的条件60

3.2.2　解析函数的原函数和在积分计算中的应用61

3.2.3 复闭路定理和闭路变形原理63

习题3.265

习题3.2答案67

3.3　Cauchy积分公式和高阶导数公式67

3.3.1 解析函数的Cauchy积分公式67

3.3.2　解析函数的高阶导数定理69

3.3.3 解析函数的实部和虚部与调和函数71

习题3.375

习题3.3答案77

3.4 平面调和场及其复势78

3.4.1 平面向量场的旋度和散度与平面调和场78

3.4.2　平面调和场的复势及其有关等式81

3.4.3　平面流速场和静电场的复势求法及其应用83

习题3.486

习题3.4答案87

第4章　复级数88

4.1　复数项级数和幂级数88

4.1.1　复数列的收敛性及其判别法88

4.1.2　复数项级数的收敛性及其判别法89

4.1.3　幂级数及其收敛半径91

4.1.4 幂级数的运算性质96

习题4.199

习题4.1答案100

4.2　Taylor级数101

4.2.1 有关逐项积分的两个引理101

4.2.2　Taylor级数展开定理103

4.2.3 基本初等函数的Taylor级数展开式104

4.2.4　典型例题及其说明106

习题4.2110

习题4.2答案111

4.3 Laurent级数112

4.3.1 Laurent级数展开定理112

4.3.2 Laurent级数的性质114

4.3.3 用Laurent级数展开式计算积分116

习题4.3121

习题4.3答案122

第5章 留数及其应用124

5.1 函数的孤立奇点及其分类124

5.1.1 函数孤立奇点的概念和分类124

5.1.2 函数各类孤立奇点的充要条件125

5.1.3　用函数的零点判别极点的类型127

5.1.4 函数在无穷远点的性态130

习题5.1132

习题5.1答案133

5.2 留数和留数定理134

5.2.1 留数的定义和计算134

5.2.2　留数定理138

5.2.3 函数在无穷远点处的留数141

习题5.2142

习题5.2答案143

5.3 留数在定积分计算中的应用145

5.3.1 形如I1=∫？f（cos2πθ/α,sin2πθ/α）dθ的积分145

5.3.2 形如I2=∫？f（x）dx的积分147

5.3.3 形如I3=∫？f（x）eiβxdx（β＞0）的积分149

习题5.3152

习题5.3答案153

5.4 辐角原理及其应用153

5.4.1　对数留数153

5.4.2　辐角原理155

5.4.3 Rouche′定理156

习题5.4159

习题5.4答案159

第6章 保角映射160

6.1　保角映射的概念160

6.1.1 曲线的切线方向和两条曲线的夹角160

6.1.2　解析函数导数的几何意义161

6.1.3　保角映射的概念和定理163

习题6.1165

习题6.1答案166

6.2　分式线性映射及其性质166

6.2.1　在扩充复平面上的保圆性167

6.2.2　在扩充复平面保持交比的不变性168

6.2.3　对扩充复平面上圆周的保对称性172

6.2.4　对有向圆周和直线的保侧性173

6.2.5　三种特殊的分式线性映射178

习题6.2182

习题6.2答案183

6.3　几个初等函数所构成的映射183

6.3.1　对数映射w=lnz和指数映射w=ez183

6.3.2　幂映射w=z″及其逆映射（n=2,3,…）186

6.3.3 儒柯夫斯基（Н.Е.Жуковскни）函数193

习题6.3196

习题6.3答案197

6.4 保角映射几个一般性定理及其应用198

6.4.1　保角映射的几个一般性定理198

6.4.2　Schwarz-Christoffel映射——多角形映射201

6.4.3　用保角映射解Laplace方程边值问题209

习题6.4213

习题6.4答案214

参考文献215