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第一章 引论、定义及基本概念1

1.1 微分方程及其定义1

1.2 常微分方程的解及定解条件5

1.3 从常微分方程的通解求常微分方程12

1.4 一些处理微分方程近代理论的常用基本概念及符号16

习题20

第二章 一阶一次微分方程24

2.1 一阶一次微分方程的各种形式及其在力学中的重要性24

2.2 一阶二次微分方程的几何意义及其应用27

2.3 恰当微分方程(丙式)的积分法(Ⅰ型)32

2.4 有关恰当微分方程的解的一些问题40

2.5 可以化为恰当微分方程的方程及积分因子(Ⅰ型)49

2.6 可以分离变量的方程及分离变量法(Ⅱ型)55

2.7 可化为分离变量的微分方程(Ⅳ型)56

2.8 一阶线性微分方程、变系数法(Ⅴ型)60

2.9 替代变量法(Ⅵ型)65

附录 积分因子的存在67

习题68

第三章 基本存在及唯一性定理及其应用79

3.1 数值积分法(欧拉积分法)79

3.2 基本存在定理85

3.3 基本存在定理的证明92

3.4 唯一性定理100

3.5 数值积分法的改进106

3.6 有限差分法114

3.7 皮卡德(Picard)重演近似法和皮卡德存在及唯一性定理122

3.8 有关参数和初值对解的影响的定理128

习题133

第四章 一阶微分方程的奇点和相图分析136

4.1 一阶一次微分方程的奇点136

4.2 参数方程145

4.3 相图及静止点的稳定性152

4.4 简单线性方程的研究157

4.5 非线性的参数方程167

4.6 非线性方程的解的稳定性：李雅普诺夫的第二方法170

4.7 非线性方程(高次型)的解的稳定性：本狄克生定理181

4.8 高次型奇点的特性及其例子186

4.9 无穷远处的解的性质197

4.10 静止点或奇点的庞加莱指数200

4.11 高次型奇点的指数205

4.12 指数定理及其应用213

4.13 极限环及张弛振动217

习题226

第五章 高次一阶方程232

5.1 能够解出导数y 的高次一阶方程232

5.2 几种简单类型的高次一阶方程238

5.3 易于解出x或y的高次一阶方程242

5.4 F(X，y,y )=0的解的存在及唯一性定理248

习题253

第六章 高阶微分方程255

6.1 高阶微分方程的解的存在及唯一性定理255

6.2 最简单的n阶微分方程y(n)=f(x)的积分258

6.3 各种可以降阶的简单类型微分方程261

习题269

第七章 高阶线性微分方程271

7.1 高阶线性微分方程的一般性质271

7.3 线性微分方程的解的特性274

7.2 线性微分运算子L的特性274

7.4 有关线性微分方程降阶的方法281

7.5 有关线性齐次微分方程求解的问题289

7.6 恰当方程和积分因子法290

7.7 变换简化法298

7.8 已知齐次微分方程的遇解求非齐次微分方程的特解--变系数法303

习题309

第八章 常系数线性微分方程312

8.1 常系数线性微分方程312

8.2 常系数线性齐次方程的解313

8.3 可以化为常系数线性微分方程的线性方程320

8.4 常系数线性非齐次方程的特解--未定系数法322

习题326

9.1 运算子D的运算性质329

第九章 运算子在解常系数微分方程上的应用329

9.2 运算子多项式的逆运算331

9.3 常系数非齐次微分方程的特解的一些简化运算336

9.4 常系数线性微分方程组的解348

附录 非齐次特解的逆运算表358

习题360

第十章 微分方程的级数解法362

10.1 泰勒级数解法362

10.2 特定系数法365

10.3 y =F(x,y)的级数解法的收敛定理及其意义374

10.4 方程组或高阶方程的级数收敛条件381

10.5 线性微分方程的级数解法的收敛条件384

10.6 正则奇点的线性微分方程的解388

10.7 两项递推公式的二阶线性方程的一般理论397

10.8 指数方程有重根时的情况405

10.9 指数方程的根的差值为m的整倍数407

习题414

第十一章 特殊函数421

11.1 引论421

11.2 γ函数Γ(x)和β函数B(n,m)422

11.3 γ函数诸关系式及二阶、三阶γ函数428

11.4 n阶第一类贝塞尔函数Je(x)434

11.5 n阶第二类贝塞尔函数Yn(x)443

11.6 贝塞尔方程的一般解及有关问题450

11.7 第三类贝塞尔函数〔罕克尔(Hankel)函数〕459

11.8 变态贝塞尔函数In(x),Kn(x)460

11.9 圆薄板的振动464

11.10 勒让特方程及勒让特函数467

11.11 勒让特多项式的母函数471

11.12 罗德里克(Rodrigues)公式474

附录A 求欧拉常数γ477

附录B 证明Ψ (x)的渐近展开式(11.67)482

习题482

第十二章 边界值问题及正交函数485

12.1 边界值问题485

12.2 杆件纵向振动的特征值问题489

12.3 二阶方程的一般特征值问题495

12.4 广义傅立叶级数499

12.5 傅立叶级数502

12.6 傅立叶-贝塞尔级数及傅立叶-勒让特级数508

12.7 广义傅立叶级数的近似性及其收敛条件512

12.8 利用正交函数级数解常微分方程及偏微分方程516

12.9 分离变量法523

习题525