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第一章 预备知识1

1.1 向量与矩阵范数1

1.1.1 向量范数1

1.1.2 矩阵范数2

1.1.3 向量范数与矩阵范数的相容性2

1.2 差分与差商2

1.2.1 差分3

算法1.1 求各阶差分4

1.2.2 差商5

算法1.2 求各阶差商5

1.3 广义多项式 函数内积与范数7

1.3.1 广义多项式7

1.3.2 加权平均8

1.3.3 函数内积与范数8

1.4 正交多项式10

1.4.1 正交函数系10

1.4.2 几个著名的正交多项式11

1.4.3 正交多项式的一般性质12

1.4.4＊ 正交多项式系的构成方法13

1.5 计算数学的基本任务14

1.5.1 计算数学与计算机14

1.5.2 算法构造算法的基本思想15

1.6 问题的性态算法的运算速度17

1.6.1 病态问题与良态问题17

1.6.2 算法的运算速度18

1.7 误差18

1.7.1 误差的基本概念19

1.7.2 数据误差对运算结果的影响19

1.8 舍入误差与算法的数值稳定性22

1.8.1 数值稳定的算法22

1.8.2 应选用数值稳定的算法23

1.8.3 数值运算中应注意的若干原则23

习题一25

第二章 非线性方程的数值解法27

2.1 闭区间套法27

2.1.1 根的隔离27

2.1.2 闭区间套法29

算法2.1 闭区间套法30

2.2 简单迭代法31

2.2.1 简单迭代法的基本思想和计算步骤31

算法2.2 简单迭代法32

2.2.2 简单迭代法的收敛条件32

2.2.3 误差估计式34

2.2.4 控制迭代终止的方法34

2.2.5 局部收敛性35

2.2.6＊ 几点提示36

2.3 迭代收敛的加速法38

2.3.1 校正—改进格式38

2.3.2 校正—校正—改进格式39

算法2.3 埃特金加速法（校正—校正—改进格式）39

2.4 牛顿迭代法41

2.4.1 计算步骤41

算法2.4 牛顿迭代法43

2.4.2 收敛性43

2.4.3 几何意义45

2.5＊ 基于牛顿迭代法的几种变形45

2.5.1 简化牛顿法45

2.5.2 牛顿下山法46

2.5.3 弦割法47

算法2.5 弦割法48

2.5.4 抛物线法49

算法2.6 抛物线法51

习题二53

第三章 线性代数方程组的数值解法55

3.1 高斯消去法55

3.1.1 基本思想55

3.1.2 基本方法56

算法3.1 高斯消去法57

3.1.3 高斯消去法的矩阵形式58

3.2 主元素消去法59

3.2.1 列主元消去法59

算法3.2 列主元消去法60

3.2.2 全主元消去法61

算法3.3 全主元消去法62

3.3 三角分解法64

3.3.1 杜里特尔分解法64

算法3.4 杜里特尔分解法求Ax＝b的解67

3.3.2 克洛特分解法68

算法3.5 克洛特分解法求Ax＝b的解68

3.3.3 乔列斯基分解法69

算法3.6 乔列斯基分解法求Ax＝b的解71

3.3.4 追赶法73

算法3.7 追赶法75

3.3.5 拟追赶法76

算法3.8 拟追赶法77

3.4 高斯—约当消去法及矩阵求逆78

3.4.1 高斯—约当消去法解式（3.1）78

3.4.2 求逆矩阵的高斯—约当消去法79

算法3.9 选主元的高斯—约当消去法求逆矩阵80

3.4.3＊ 几种特殊矩阵求逆82

算法3.10 对称正定矩阵求逆矩阵83

3.5＊ 方程组的性态84

3.6 迭代法88

3.6.1 基本思想88

3.6.2 同步迭代法（雅可比迭代法）88

算法3.11 同步迭代法（雅可比迭代法）89

3.6.3 异步迭代法（高斯—赛德尔迭代法）91

算法3.12 异步迭代法（高斯—赛德尔迭代法）92

3.6.4＊ SOR方法94

3.6.5＊ 迭代法格式的统一形式95

3.7 迭代法的收敛条件及误差估计96

3.7.1 引言96

3.7.2 收敛条件及误差估计式97

3.7.3 根据A判别迭代法的敛散性100

习题三100

第四章 矩阵特征值与特征向量的求法104

4.1 乘幂法和反幂法104

4.1.1 乘幂法104

算法4.1 乘幂法107

4.1.2 反幂法108

算法4.2 反幂法109

4.2＊ 雅可比方法110

4.2.1 几个预备知识110

4.2.2 计算方法112

算法4.3 雅可比方法113

4.2.3 计算方法的依据116

4.2.4 对雅可比方法的几种改进方案117

习题四118

第五章 代数插值法119

5.1 插值问题的提法119

5.2 拉格朗日插值多项式120

5.2.1 拉格朗日插值多项式120

算法5.1 拉格朗日插值法122

5.2.2 拉格朗日插值多项式的余项123

5.3 牛顿插值多项式125

5.3.1 牛顿插值多项式126

算法5.2 牛顿插值法128

5.3.2 等距节点插值多项式128

算法5.3 等距节点牛顿向前差插值法129

5.4＊ 埃尔米特插值131

5.4.1 一个简单例子131

5.4.2 埃尔米特插值多项式及其余项132

5.5 三次样条函数插值133

5.5.1 代数插值的问题133

5.5.2 三次样条插值函数定义133

5.5.3 S3（x）的M表达式134

5.5.4 三弯矩方程（M关系式）135

5.5.5 边界条件与基本方程组136

5.5.6 三次样条函数插值计算步骤137

算法5.4 三次样条函数插值法（三弯矩法）138

习题五140

第六章 数据拟合法142

6.1 引言142

6.2 最小二乘拟合多项式143

6.2.1 求数据的最小二乘拟合多项式143

算法6.1 求数据的最小二乘拟合多项式144

6.2.2 关于近似函数P（x）的选取146

6.3 线性最小二乘拟合147

6.3.1 线性最小二乘拟合问题的提法147

6.3.2 正规方程组148

6.3.3＊ P（x）的存在唯一性及使S最小149

6.3.4 计算步骤150

6.3.5 正交多项式应用152

算法6.2 正交多项式法求数据的线性最小二乘拟合多项式154

6.4＊ 一般最佳平方逼近问题提示157

习题六159

第七章 数值积分法161

7.1 引言161

7.2 等距节点基本求积公式163

7.2.1 牛顿—柯特斯公式163

7.2.2 牛顿—柯特斯公式截断误差166

7.3 等距节点复化求积公式169

7.3.1 复化梯形公式及其误差169

7.3.2 复化辛普生公式及其误差171

算法7.1 复化辛普生数值积分法171

7.3.3 复化柯特斯公式及其误差172

7.4 变步长求积公式175

7.4.1 变步长梯形公式175

算法7.2 变步长梯形数值积分法176

7.4.2 变步长辛普生公式177

算法7.3 变步长辛普生数值积分法179

7.5 龙贝格积分法180

7.5.1 等距节点复化求积公式的加速收敛180

7.5.2 龙贝格积分法183

算法7.4 龙贝格数值积分法185

7.6＊ 数值微分187

7.6.1 用插值多项式求数值导数187

7.6.2 中点法和外推法190

算法7.5 中点公式外推法求数值导数192

7.6.3 用三次样条插值函数求数值导数193

习题七194

第八章＊ 常微分方程初值问题的数值解法196

8.1 引言196

8.2 欧拉法及其改进197

8.2.1 欧拉法基本公式197

8.2.2 几个基本问题198

8.2.3 局部截断误差的实用估计199

8.2.4 改进欧拉法200

算法8.1 改进欧拉法201

8.3 龙格—库塔法203

8.3.1 泰勒级数法203

8.3.2 龙格—库塔法（R—K法）204

算法8.2 标准龙格—库塔法207

8.4 线性多步法209

8.4.1 线性多步法的基本思想209

8.4.2 应用泰勒级数的构造法209

8.4.3 应用数值积分的构造法211

8.4.4 求解公式的使用方法211

算法8.3 线性多步法（修正哈明预测—校正公式）213

8.5 方程组与高阶方程214

8.5.1 一阶微分方程组214

8.5.2 高阶微分方程216

习题八218

参考文献220